Algèbre Exemples

$5$ , $- \frac{19}{4}$

Étape 1

$x = 5$ et $x = - \frac{19}{4}$ sont les deux solutions réelles distinctes de l’équation quadratique, ce qui signifie que $x - 5$ et $x + \frac{19}{4}$ sont les facteurs de l’équation quadratique.

$(x - 5) (x + \frac{19}{4}) = 0$

Étape 2

Développez $(x - 5) (x + \frac{19}{4})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x + \frac{19}{4}) - 5 (x + \frac{19}{4}) = 0$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x (\frac{19}{4}) - 5 (x + \frac{19}{4}) = 0$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x (\frac{19}{4}) - 5 x - 5 (\frac{19}{4}) = 0$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x (\frac{19}{4}) - 5 x - 5 (\frac{19}{4}) = 0$

Étape 3.1.2

Associez $x$ et $\frac{19}{4}$ .

$x^{2} + \frac{x \cdot 19}{4} - 5 x - 5 (\frac{19}{4}) = 0$

Étape 3.1.3

Déplacez $19$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + \frac{19 \cdot x}{4} - 5 x - 5 (\frac{19}{4}) = 0$

Étape 3.1.4

Multipliez $- 5 (\frac{19}{4})$ .

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Étape 3.1.4.1

Associez $- 5$ et $\frac{19}{4}$ .

$x^{2} + \frac{19 x}{4} - 5 x + \frac{- 5 \cdot 19}{4} = 0$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $- 5$ par $19$ .

$x^{2} + \frac{19 x}{4} - 5 x + \frac{- 95}{4} = 0$

Étape 3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} + \frac{19 x}{4} - 5 x - \frac{95}{4} = 0$

Étape 3.2

Pour écrire $- 5 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} + \frac{19 x}{4} - 5 x \cdot \frac{4}{4} - \frac{95}{4} = 0$

Étape 3.3

Associez $- 5 x$ et $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} + \frac{19 x}{4} + \frac{- 5 x \cdot 4}{4} - \frac{95}{4} = 0$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} + \frac{19 x - 5 x \cdot 4}{4} - \frac{95}{4} = 0$

Étape 3.5

Pour écrire $x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{19 x - 5 x \cdot 4}{4} - \frac{95}{4} = 0$

Étape 3.6

Associez $x^{2}$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{4} + \frac{19 x - 5 x \cdot 4}{4} - \frac{95}{4} = 0$

Étape 3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} \cdot 4 + 19 x - 5 x \cdot 4}{4} - \frac{95}{4} = 0$

Étape 3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} \cdot 4 + 19 x - 5 x \cdot 4 - 95}{4} = 0$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot x^{2} + 19 x - 5 x \cdot 4 - 95}{4} = 0$

Étape 4.2

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$\frac{4 x^{2} + 19 x - 20 x - 95}{4} = 0$

Étape 4.3

Soustrayez $20 x$ de $19 x$ .

$\frac{4 x^{2} - x - 95}{4} = 0$

Étape 4.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 95 = - 380$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 4.4.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{4 x^{2} - (x) - 95}{4} = 0$

Étape 4.4.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $19$ plus $- 20$

$\frac{4 x^{2} + (19 - 20) x - 95}{4} = 0$

Étape 4.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + 19 x - 20 x - 95}{4} = 0$

Étape 4.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(4 x^{2} + 19 x) - 20 x - 95}{4} = 0$

Étape 4.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (4 x + 19) - 5 (4 x + 19)}{4} = 0$

Étape 4.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 x + 19$ .

$\frac{(4 x + 19) (x - 5)}{4} = 0$

Étape 5

Développez $(4 x + 19) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x (x - 5) + 19 (x - 5)}{4} = 0$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 5 + 19 (x - 5)}{4} = 0$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 5 + 19 x + 19 \cdot - 5}{4} = 0$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 5 + 19 x + 19 \cdot - 5}{4} = 0$

Étape 6.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 x \cdot - 5 + 19 x + 19 \cdot - 5}{4} = 0$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2} - 20 x + 19 x + 19 \cdot - 5}{4} = 0$

Étape 6.1.3

Multipliez $19$ par $- 5$ .

$\frac{4 x^{2} - 20 x + 19 x - 95}{4} = 0$

Étape 6.2

Additionnez $- 20 x$ et $19 x$ .

$\frac{4 x^{2} - x - 95}{4} = 0$

Étape 7

Divisez la fraction $\frac{4 x^{2} - x - 95}{4}$ en deux fractions.

$\frac{4 x^{2} - x}{4} + \frac{- 95}{4} = 0$

Étape 8

Divisez la fraction $\frac{4 x^{2} - x}{4}$ en deux fractions.

$\frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- x}{4} + \frac{- 95}{4} = 0$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- x}{4} + \frac{- 95}{4} = 0$

Étape 9.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{- x}{4} + \frac{- 95}{4} = 0$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} - \frac{x}{4} + \frac{- 95}{4} = 0$

Étape 11

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{95}{4} = 0$

Étape 12

L’équation quadratique standard en utilisant l’ensemble de solutions donné ${5, - \frac{19}{4}}$ est $y = x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{95}{4}$ .

$y = x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{95}{4}$

Étape 13