Algèbre Exemples

$f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 6$

Étape 1

Écrivez $f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 6$ comme une équation.

$y = - 3 x^{2} + 12 x - 6$

Étape 2

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1

Complétez le carré pour $- 3 x^{2} + 12 x - 6$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 3$

$b = 12$

$c = - 6$

Étape 2.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

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Étape 2.1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.1.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 3$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (- 3)}$

Étape 2.1.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.1.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{6}{- 3}$

Étape 2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $- 3$ .

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Étape 2.1.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$d = \frac{3 (2)}{- 3}$

Étape 2.1.3.2.2.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Étape 2.1.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$d = - 2$

Étape 2.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 6 - \frac{12^{2}}{4 \cdot - 3}$

Étape 2.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.4.2.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$e = - 6 - \frac{144}{4 \cdot - 3}$

Étape 2.1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$e = - 6 - \frac{144}{- 12}$

Étape 2.1.4.2.1.3

Divisez $144$ par $- 12$ .

$e = - 6 - - 12$

Étape 2.1.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$e = - 6 + 12$

Étape 2.1.4.2.2

Additionnez $- 6$ et $12$ .

$e = 6$

Étape 2.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 3 {(x - 2)}^{2} + 6$ .

$- 3 {(x - 2)}^{2} + 6$

Étape 2.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - 3 {(x - 2)}^{2} + 6$

Étape 3

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - 3$

$h = 2$

$k = 6$

Étape 4

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 5

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(2, 6)$

Étape 6

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 6.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 6.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$\frac{1}{- 12}$

Étape 6.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{12}$

Étape 7

Déterminez le foyer.

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Étape 7.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(2, \frac{71}{12})$

Étape 8

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 2$

Étape 9