Algèbre Exemples

$x^{4} + 2 x^{3} - 23 x^{2} - 24 x + 144 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{4} + 2 x^{3} - 23 x^{2} - 24 x + 144$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 144, \pm 2, \pm 72, \pm 3, \pm 48, \pm 4, \pm 36, \pm 6, \pm 24, \pm 8, \pm 18, \pm 9, \pm 16, \pm 12$

$q = \pm 1$

Étape 1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 144, \pm 2, \pm 72, \pm 3, \pm 48, \pm 4, \pm 36, \pm 6, \pm 24, \pm 8, \pm 18, \pm 9, \pm 16, \pm 12$

Étape 1.1.3

Remplacez $3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $3$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.1.3.1

Remplacez $3$ dans le polynôme.

$3^{4} + 2 \cdot 3^{3} - 23 \cdot 3^{2} - 24 \cdot 3 + 144$

Étape 1.1.3.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$81 + 2 \cdot 3^{3} - 23 \cdot 3^{2} - 24 \cdot 3 + 144$

Étape 1.1.3.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$81 + 2 \cdot 27 - 23 \cdot 3^{2} - 24 \cdot 3 + 144$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $2$ par $27$ .

$81 + 54 - 23 \cdot 3^{2} - 24 \cdot 3 + 144$

Étape 1.1.3.5

Additionnez $81$ et $54$ .

$135 - 23 \cdot 3^{2} - 24 \cdot 3 + 144$

Étape 1.1.3.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$135 - 23 \cdot 9 - 24 \cdot 3 + 144$

Étape 1.1.3.7

Multipliez $- 23$ par $9$ .

$135 - 207 - 24 \cdot 3 + 144$

Étape 1.1.3.8

Soustrayez $207$ de $135$ .

$- 72 - 24 \cdot 3 + 144$

Étape 1.1.3.9

Multipliez $- 24$ par $3$ .

$- 72 - 72 + 144$

Étape 1.1.3.10

Soustrayez $72$ de $- 72$ .

$- 144 + 144$

Étape 1.1.3.11

Additionnez $- 144$ et $144$ .

$0$

Étape 1.1.4

Comme $3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 23 x^{2} - 24 x + 144}{x - 3}$

Étape 1.1.5

Divisez $x^{4} + 2 x^{3} - 23 x^{2} - 24 x + 144$ par $x - 3$ .

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Étape 1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

Étape 1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

Étape 1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Étape 1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{4} - 3 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Étape 1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

Étape 1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

Étape 1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $5 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

Étape 1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

Étape 1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $5 x^{3} - 15 x^{2}$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

Étape 1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

Étape 1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

Étape 1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 8 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

Étape 1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

$8 x^{2}$

$24 x$

Étape 1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 8 x^{2} + 24 x$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

$8 x^{2}$

$24 x$

Étape 1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

$8 x^{2}$

$24 x$

$48 x$

Étape 1.1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

$8 x^{2}$

$24 x$

$48 x$

$144$

Étape 1.1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 48 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$48$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

$8 x^{2}$

$24 x$

$48 x$

$144$

Étape 1.1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$48$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

$8 x^{2}$

$24 x$

$48 x$

$144$

$48 x$

$144$

Étape 1.1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 48 x + 144$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$48$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

$8 x^{2}$

$24 x$

$48 x$

$144$

$48 x$

$144$

Étape 1.1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$48$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

$8 x^{2}$

$24 x$

$48 x$

$144$

$48 x$

$144$

$0$

Étape 1.1.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{3} + 5 x^{2} - 8 x - 48$

Étape 1.1.6

Écrivez $x^{4} + 2 x^{3} - 23 x^{2} - 24 x + 144$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 3) (x^{3} + 5 x^{2} - 8 x - 48) = 0$

Étape 1.2

Factorisez $x^{3} + 5 x^{2} - 8 x - 48$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

$q = \pm 1$

Étape 1.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

Étape 1.2.3

Remplacez $3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $3$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.2.3.1

Remplacez $3$ dans le polynôme.

$3^{3} + 5 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 48$

Étape 1.2.3.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 + 5 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 48$

Étape 1.2.3.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$27 + 5 \cdot 9 - 8 \cdot 3 - 48$

Étape 1.2.3.4

Multipliez $5$ par $9$ .

$27 + 45 - 8 \cdot 3 - 48$

Étape 1.2.3.5

Additionnez $27$ et $45$ .

$72 - 8 \cdot 3 - 48$

Étape 1.2.3.6

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$72 - 24 - 48$

Étape 1.2.3.7

Soustrayez $24$ de $72$ .

$48 - 48$

Étape 1.2.3.8

Soustrayez $48$ de $48$ .

$0$

Étape 1.2.4

Comme $3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 8 x - 48}{x - 3}$

Étape 1.2.5

Divisez $x^{3} + 5 x^{2} - 8 x - 48$ par $x - 3$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$48$

Étape 1.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$

Étape 1.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Étape 1.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Étape 1.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

Étape 1.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Étape 1.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $8 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Étape 1.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$

Étape 1.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $8 x^{2} - 24 x$

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Étape 1.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$

Étape 1.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$	-	$48$

Étape 1.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $16 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$	-	$48$

Étape 1.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$	-	$48$
							+	$16 x$	-	$48$

Étape 1.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $16 x - 48$

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$	-	$48$
							-	$16 x$	+	$48$

Étape 1.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$	-	$48$
							-	$16 x$	+	$48$
										$0$

Étape 1.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 8 x + 16$

Étape 1.2.6

Écrivez $x^{3} + 5 x^{2} - 8 x - 48$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + 8 x + 16)) = 0$

Étape 1.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.3.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + 8 x + 4^{2})) = 0$

Étape 1.3.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez le polynôme.

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Étape 1.3.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 4$ .

$(x - 3) ((x - 3) {(x + 4)}^{2}) = 0$

Étape 1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 3) (x - 3) {(x + 4)}^{2} = 0$

Étape 1.4

Associez les facteurs similaires.

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Étape 1.4.1

Élevez $x - 3$ à la puissance $1$ .

$(x - 3) (x - 3) {(x + 4)}^{2} = 0$

Étape 1.4.2

Élevez $x - 3$ à la puissance $1$ .

$(x - 3) (x - 3) {(x + 4)}^{2} = 0$

Étape 1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x - 3)}^{1 + 1} {(x + 4)}^{2} = 0$

Étape 1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x - 3)}^{2} {(x + 4)}^{2} = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

${(x + 4)}^{2} = 0$

Étape 3

Définissez ${(x - 3)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez ${(x - 3)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez ${(x - 3)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Définissez le $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 3.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 4

Définissez ${(x + 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez ${(x + 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez ${(x + 4)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez le $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x - 3)}^{2} {(x + 4)}^{2} = 0$ vraie. La multiplicité d’une racine est le nombre de fois que la racine apparaît.

$x = 3$ (Multiplicité de $2$ )

$x = - 4$ (Multiplicité de $2$ )

Étape 6