Algèbre Exemples

$f (x) = x^{4} + 5 x^{3} + 10 x^{2} + 20 x + 24$

Étape 1

Définissez $x^{4} + 5 x^{3} + 10 x^{2} + 20 x + 24$ égal à $0$ .

$x^{4} + 5 x^{3} + 10 x^{2} + 20 x + 24 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$5 x^{3} + 10 x^{2} + x^{4} + 20 x + 24 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $5 x^{2}$ à partir de $5 x^{3} + 10 x^{2}$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $5 x^{2}$ à partir de $5 x^{3}$ .

$5 x^{2} (x) + 10 x^{2} + x^{4} + 20 x + 24 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $5 x^{2}$ à partir de $10 x^{2}$ .

$5 x^{2} (x) + 5 x^{2} (2) + x^{4} + 20 x + 24 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $5 x^{2}$ à partir de $5 x^{2} (x) + 5 x^{2} (2)$ .

$5 x^{2} (x + 2) + x^{4} + 20 x + 24 = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $x^{4} + 20 x + 24$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.3.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1$

Étape 2.1.3.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

Étape 2.1.3.3

Remplacez $- 2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 2$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.3.3.1

Remplacez $- 2$ dans le polynôme.

${(- 2)}^{4} + 20 \cdot - 2 + 24$

Étape 2.1.3.3.2

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$16 + 20 \cdot - 2 + 24$

Étape 2.1.3.3.3

Multipliez $20$ par $- 2$ .

$16 - 40 + 24$

Étape 2.1.3.3.4

Soustrayez $40$ de $16$ .

$- 24 + 24$

Étape 2.1.3.3.5

Additionnez $- 24$ et $24$ .

$0$

Étape 2.1.3.4

Comme $- 2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} + 20 x + 24}{x + 2}$

Étape 2.1.3.5

Divisez $x^{4} + 20 x + 24$ par $x + 2$ .

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Étape 2.1.3.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

Étape 2.1.3.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

Étape 2.1.3.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Étape 2.1.3.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{4} + 2 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Étape 2.1.3.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Étape 2.1.3.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 2.1.3.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 2.1.3.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Étape 2.1.3.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{3} - 4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Étape 2.1.3.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Étape 2.1.3.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

Étape 2.1.3.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

Étape 2.1.3.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

Étape 2.1.3.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x^{2} + 8 x$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

Étape 2.1.3.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

Étape 2.1.3.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$24$

Étape 2.1.3.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $12 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$24$

Étape 2.1.3.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$24$

$12 x$

$24$

Étape 2.1.3.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $12 x + 24$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$24$

$12 x$

$24$

Étape 2.1.3.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$24$

$12 x$

$24$

$0$

Étape 2.1.3.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12$

Étape 2.1.3.6

Écrivez $x^{4} + 20 x + 24$ comme un ensemble de facteurs.

$5 x^{2} (x + 2) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12) = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez $x + 2$ à partir de $5 x^{2} (x + 2) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12)$ .

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Étape 2.1.4.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $5 x^{2} (x + 2)$ .

$(x + 2) (5 x^{2}) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12) = 0$

Étape 2.1.4.2

Factorisez $x + 2$ à partir de $(x + 2) (5 x^{2}) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12)$ .

$(x + 2) (5 x^{2} + x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12) = 0$

Étape 2.1.5

Soustrayez $2 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 12) = 0$

Étape 2.1.6

Factorisez.

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Étape 2.1.6.1

Réécrivez $x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 12$ en forme factorisée.

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Étape 2.1.6.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.6.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 2) ((x^{3} + 3 x^{2}) + 4 x + 12) = 0$

Étape 2.1.6.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 2) (x^{2} (x + 3) + 4 (x + 3)) = 0$

Étape 2.1.6.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 3$ .

$(x + 2) ((x + 3) (x^{2} + 4)) = 0$

Étape 2.1.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) (x + 3) (x^{2} + 4) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.4

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.4.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} + 4$ égal à $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 4$

Étape 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Étape 2.5.2.3.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Étape 2.5.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Étape 2.5.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Étape 2.5.2.3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Étape 2.5.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 2$

Étape 2.5.2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Étape 2.5.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 i$

Étape 2.5.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 i$

Étape 2.5.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 i, - 2 i$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x + 3) (x^{2} + 4) = 0$ vraie.

$x = - 2, - 3, 2 i, - 2 i$

Étape 3