Algèbre Exemples

$\frac{4 b}{b^{2} - 2 b + 1} + \frac{7}{b^{2} + 1 b - 2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{4 b}{b^{2} - 2 b + 1^{2}} + \frac{7}{b^{2} + 1 b - 2}$

Étape 1.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

Étape 1.1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{4 b}{b^{2} - 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}} + \frac{7}{b^{2} + 1 b - 2}$

Étape 1.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = b$ et $b = 1$ .

$\frac{4 b}{{(b - 1)}^{2}} + \frac{7}{b^{2} + 1 b - 2}$

Étape 1.2

Factorisez $b^{2} + 1 b - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{4 b}{{(b - 1)}^{2}} + \frac{7}{(b - 1) (b + 2)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{4 b}{{(b - 1)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{b + 2}{b + 2}$ .

$\frac{4 b}{{(b - 1)}^{2}} \cdot \frac{b + 2}{b + 2} + \frac{7}{(b - 1) (b + 2)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{7}{(b - 1) (b + 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{b - 1}{b - 1}$ .

$\frac{4 b}{{(b - 1)}^{2}} \cdot \frac{b + 2}{b + 2} + \frac{7}{(b - 1) (b + 2)} \cdot \frac{b - 1}{b - 1}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(b + 2) {(b - 1)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{4 b}{{(b - 1)}^{2}}$ par $\frac{b + 2}{b + 2}$ .

$\frac{4 b (b + 2)}{{(b - 1)}^{2} (b + 2)} + \frac{7}{(b - 1) (b + 2)} \cdot \frac{b - 1}{b - 1}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{7}{(b - 1) (b + 2)}$ par $\frac{b - 1}{b - 1}$ .

$\frac{4 b (b + 2)}{{(b - 1)}^{2} (b + 2)} + \frac{7 (b - 1)}{(b - 1) (b + 2) (b - 1)}$

Étape 4.3

Élevez $b - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 b (b + 2)}{{(b - 1)}^{2} (b + 2)} + \frac{7 (b - 1)}{{(b - 1)}^{1} (b - 1) (b + 2)}$

Étape 4.4

Élevez $b - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 b (b + 2)}{{(b - 1)}^{2} (b + 2)} + \frac{7 (b - 1)}{{(b - 1)}^{1} {(b - 1)}^{1} (b + 2)}$

Étape 4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 b (b + 2)}{{(b - 1)}^{2} (b + 2)} + \frac{7 (b - 1)}{{(b - 1)}^{1 + 1} (b + 2)}$

Étape 4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 b (b + 2)}{{(b - 1)}^{2} (b + 2)} + \frac{7 (b - 1)}{{(b - 1)}^{2} (b + 2)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 b (b + 2) + 7 (b - 1)}{{(b - 1)}^{2} (b + 2)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 b \cdot b + 4 b \cdot 2 + 7 (b - 1)}{{(b - 1)}^{2} (b + 2)}$

Étape 6.2

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1

Déplacez $b$ .

$\frac{4 (b \cdot b) + 4 b \cdot 2 + 7 (b - 1)}{{(b - 1)}^{2} (b + 2)}$

Étape 6.2.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{4 b^{2} + 4 b \cdot 2 + 7 (b - 1)}{{(b - 1)}^{2} (b + 2)}$

Étape 6.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{4 b^{2} + 8 b + 7 (b - 1)}{{(b - 1)}^{2} (b + 2)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 b^{2} + 8 b + 7 b + 7 \cdot - 1}{{(b - 1)}^{2} (b + 2)}$

Étape 6.5

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{4 b^{2} + 8 b + 7 b - 7}{{(b - 1)}^{2} (b + 2)}$

Étape 6.6

Additionnez $8 b$ et $7 b$ .

$\frac{4 b^{2} + 15 b - 7}{{(b - 1)}^{2} (b + 2)}$