Algèbre Exemples

$x^{2} - 2 x \leq 1$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} - 2 x - 1 \leq 0$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 1 + \sqrt{2}$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 1 - \sqrt{2}$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 1 - \sqrt{2}$

$1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$

$x > 1 + \sqrt{2}$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 1 - \sqrt{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 1 - \sqrt{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 \leq 1$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $15$ est supérieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} - 2 \cdot 0 \leq 1$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1 + \sqrt{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1 + \sqrt{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

${(5)}^{2} - 2 \cdot 5 \leq 1$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $15$ est supérieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 1 - \sqrt{2}$ Faux

$1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$ Vrai

$x > 1 + \sqrt{2}$ Faux

$x < 1 - \sqrt{2}$ Faux

$1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$ Vrai

$x > 1 + \sqrt{2}$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$1 - \sqrt{2} \leq x \leq 1 + \sqrt{2}$

Étape 12

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$[1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}]$

Étape 13