Algèbre Exemples

$x^{4} - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 18 x + 45 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Regroupez les termes.

$- 2 x^{3} - 18 x + x^{4} + 14 x^{2} + 45 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x^{3} - 18 x$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 18 x + x^{4} + 14 x^{2} + 45 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 18 x$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot 9 + x^{4} + 14 x^{2} + 45 = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x (x^{2}) - 2 x (9)$ .

$- 2 x (x^{2} + 9) + x^{4} + 14 x^{2} + 45 = 0$

Étape 1.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 9) + {(x^{2})}^{2} + 14 x^{2} + 45 = 0$

Étape 1.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- 2 x (x^{2} + 9) + u^{2} + 14 u + 45 = 0$

Étape 1.5

Factorisez $u^{2} + 14 u + 45$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $45$ et dont la somme est $14$ .

$5, 9$

Étape 1.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 2 x (x^{2} + 9) + (u + 5) (u + 9) = 0$

Étape 1.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 9) + (x^{2} + 5) (x^{2} + 9) = 0$

Étape 1.7

Factorisez $x^{2} + 9$ à partir de $- 2 x (x^{2} + 9) + (x^{2} + 5) (x^{2} + 9)$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez $x^{2} + 9$ à partir de $- 2 x (x^{2} + 9)$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (x^{2} + 5) (x^{2} + 9) = 0$

Étape 1.7.2

Factorisez $x^{2} + 9$ à partir de $(x^{2} + 5) (x^{2} + 9)$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (x^{2} + 9) (x^{2} + 5) = 0$

Étape 1.7.3

Factorisez $x^{2} + 9$ à partir de $(x^{2} + 9) (- 2 x) + (x^{2} + 9) (x^{2} + 5)$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x + x^{2} + 5) = 0$

Étape 1.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x^{2} + 9) (x^{2} - 2 x + 5) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

Étape 3

Définissez $x^{2} + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x^{2} + 9$ égal à $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x^{2} + 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 9$

Étape 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Étape 3.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Étape 3.2.3.1

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Étape 3.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (9)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Étape 3.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Étape 3.2.3.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Étape 3.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 3$

Étape 3.2.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Étape 3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3 i$

Étape 3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3 i$

Étape 3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3 i, - 3 i$

Étape 4

Définissez $x^{2} - 2 x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{2} - 2 x + 5$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3

Simplifiez

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Étape 4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.3

Soustrayez $20$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

Étape 4.2.3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 2 i$

Étape 4.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + 2 i, 1 - 2 i$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} + 9) (x^{2} - 2 x + 5) = 0$ vraie.

$x = 3 i, - 3 i, 1 + 2 i, 1 - 2 i$

Étape 6