Algèbre Exemples

$f (x) = 5^{x - 5} - 1$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = 5^{x - 5} - 1$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $5^{x - 5} - 1 = 0$ .

$5^{x - 5} - 1 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$5^{x - 5} = 1$

Étape 1.2.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (5^{x - 5}) = \ln (1)$

Étape 1.2.4

Développez $\ln (5^{x - 5})$ en déplaçant $x - 5$ hors du logarithme.

$(x - 5) \ln (5) = \ln (1)$

Étape 1.2.5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (5) - 5 \ln (5) = \ln (1)$

Étape 1.2.6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.6.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$x \ln (5) - 5 \ln (5) = 0$

Étape 1.2.7

Ajoutez $5 \ln (5)$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (5) = 5 \ln (5)$

Étape 1.2.8

Divisez chaque terme dans $x \ln (5) = 5 \ln (5)$ par $\ln (5)$ et simplifiez.

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Étape 1.2.8.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (5) = 5 \ln (5)$ par $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{5 \ln (5)}{\ln (5)}$

Étape 1.2.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.8.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (5)$ .

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Étape 1.2.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{5 \ln (5)}{\ln (5)}$

Étape 1.2.8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5 \ln (5)}{\ln (5)}$

Étape 1.2.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.8.3.1

Annulez le facteur commun de $\ln (5)$ .

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Étape 1.2.8.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{5 \ln (5)}{\ln (5)}$

Étape 1.2.8.3.1.2

Divisez $5$ par $1$ .

$x = 5$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(5, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = 5^{(0) - 5} - 1$

Étape 2.2

Simplifiez $5^{(0) - 5} - 1$ .

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Soustrayez $5$ de $0$ .

$y = 5^{- 5} - 1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y = \frac{1}{5^{5}} - 1$

Étape 2.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$y = \frac{1}{3125} - 1$

Étape 2.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3125}{3125}$ .

$y = \frac{1}{3125} - 1 \cdot \frac{3125}{3125}$

Étape 2.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{3125}{3125}$ .

$y = \frac{1}{3125} + \frac{- 1 \cdot 3125}{3125}$

Étape 2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{1 - 1 \cdot 3125}{3125}$

Étape 2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $3125$ .

$y = \frac{1 - 3125}{3125}$

Étape 2.2.5.2

Soustrayez $3125$ de $1$ .

$y = \frac{- 3124}{3125}$

Étape 2.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3124}{3125}$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - \frac{3124}{3125})$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(5, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - \frac{3124}{3125})$

Étape 4