Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{x^{4}}{7} + 27$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{x^{4}}{7} + 27$ comme une équation.

$y = \frac{x^{4}}{7} + 27$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{y^{4}}{7} + 27$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y^{4}}{7} + 27 = x$ .

$\frac{y^{4}}{7} + 27 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $27$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{4}}{7} = x - 27$

Étape 3.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $7$ .

$7 \frac{y^{4}}{7} = 7 (x - 27)$

Étape 3.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$7 \frac{y^{4}}{7} = 7 (x - 27)$

Étape 3.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{4} = 7 (x - 27)$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez $7 (x - 27)$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{4} = 7 x + 7 \cdot - 27$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $7$ par $- 27$ .

$y^{4} = 7 x - 189$

Étape 3.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[4]{7 x - 189}$

Étape 3.6

Factorisez $7$ à partir de $7 x - 189$ .

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Étape 3.6.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$y = \pm \sqrt[4]{7 (x) - 189}$

Étape 3.6.2

Factorisez $7$ à partir de $- 189$ .

$y = \pm \sqrt[4]{7 x + 7 \cdot - 27}$

Étape 3.6.3

Factorisez $7$ à partir de $7 x + 7 \cdot - 27$ .

$y = \pm \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

Étape 3.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

Étape 3.7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

Étape 3.7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

$y = - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

$y = \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

$y = - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

$y = \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

$y = - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[4]{7 (x - 27)}, - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt[4]{7 (x - 27)}, - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x^{4}}{7} + 27$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \frac{x^{4}}{7} + 27$ et $f^{- 1} (x) = \sqrt[4]{7 (x - 27)}, - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = \frac{x^{4}}{7} + 27$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[27, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\sqrt[4]{7 (x - 27)}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt[4]{7 (x - 27)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$7 (x - 27) \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $7 (x - 27) \geq 0$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.1.1

Divisez chaque terme dans $7 (x - 27) \geq 0$ par $7$ .

$\frac{7 (x - 27)}{7} \geq \frac{0}{7}$

Étape 5.3.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 (x - 27)}{7} \geq \frac{0}{7}$

Étape 5.3.2.1.2.1.2

Divisez $x - 27$ par $1$ .

$x - 27 \geq \frac{0}{7}$

Étape 5.3.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1.3.1

Divisez $0$ par $7$ .

$x - 27 \geq 0$

Étape 5.3.2.2

Ajoutez $27$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x \geq 27$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[27, \infty)$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{x^{4}}{7} + 27$ .

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Étape 5.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \sqrt[4]{7 (x - 27)}, - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$ se trouve sur la plage de $f (x) = \frac{x^{4}}{7} + 27$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \sqrt[4]{7 (x - 27)}, - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$ est le domaine de $f (x) = \frac{x^{4}}{7} + 27$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt[4]{7 (x - 27)}, - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x^{4}}{7} + 27$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[4]{7 (x - 27)}, - \sqrt[4]{7 (x - 27)}$

Étape 6