Algèbre Exemples

$x^{3} - 10 x = - 3 x^{2} + 24$

Étape 1

Ajoutez $3 x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} - 10 x + 3 x^{2} = 24$

Étape 2

Soustrayez $24$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - 10 x + 3 x^{2} - 24 = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24 = 0$

Étape 3.2

Factorisez $x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 3.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1$

Étape 3.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

Étape 3.2.3

Remplacez $- 2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 2$ est une racine du polynôme.

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Étape 3.2.3.1

Remplacez $- 2$ dans le polynôme.

${(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} - 10 \cdot - 2 - 24$

Étape 3.2.3.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 8 + 3 {(- 2)}^{2} - 10 \cdot - 2 - 24$

Étape 3.2.3.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- 8 + 3 \cdot 4 - 10 \cdot - 2 - 24$

Étape 3.2.3.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$- 8 + 12 - 10 \cdot - 2 - 24$

Étape 3.2.3.5

Additionnez $- 8$ et $12$ .

$4 - 10 \cdot - 2 - 24$

Étape 3.2.3.6

Multipliez $- 10$ par $- 2$ .

$4 + 20 - 24$

Étape 3.2.3.7

Additionnez $4$ et $20$ .

$24 - 24$

Étape 3.2.3.8

Soustrayez $24$ de $24$ .

$0$

Étape 3.2.4

Comme $- 2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24}{x + 2}$

Étape 3.2.5

Divisez $x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24$ par $x + 2$ .

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Étape 3.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x$

$24$

Étape 3.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$

Étape 3.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 3.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 3.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Étape 3.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$

Étape 3.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$

Étape 3.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Étape 3.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + 2 x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Étape 3.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$12 x$

Étape 3.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$12 x$	-	$24$

Étape 3.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 12 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$12 x$	-	$24$

Étape 3.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$12 x$	-	$24$
							-	$12 x$	-	$24$

Étape 3.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 12 x - 24$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$12 x$	-	$24$
							+	$12 x$	+	$24$

Étape 3.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$12 x$	-	$24$
							+	$12 x$	+	$24$
										$0$

Étape 3.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + x - 12$

Étape 3.2.6

Écrivez $x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 2) (x^{2} + x - 12) = 0$

Étape 3.3

Factorisez.

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Étape 3.3.1

Factorisez $x^{2} + x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $1$ .

$- 3, 4$

Étape 3.3.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 2) ((x - 3) (x + 4)) = 0$

Étape 3.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) (x - 3) (x + 4) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 7

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 7.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x - 3) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = - 2, 3, - 4$

Étape 9