Algèbre Exemples

$y = 3 e^{- 4 x + 1}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 3 e^{- 4 y + 1}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $3 e^{- 4 y + 1} = x$ .

$3 e^{- 4 y + 1} = x$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $3 e^{- 4 y + 1} = x$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 e^{- 4 y + 1} = x$ par $3$ .

$\frac{3 e^{- 4 y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 e^{- 4 y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $e^{- 4 y + 1}$ par $1$ .

$e^{- 4 y + 1} = \frac{x}{3}$

Étape 2.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- 4 y + 1}) = \ln (\frac{x}{3})$

Étape 2.4

Développez le côté gauche.

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Étape 2.4.1

Développez $\ln (e^{- 4 y + 1})$ en déplaçant $- 4 y + 1$ hors du logarithme.

$(- 4 y + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

Étape 2.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(- 4 y + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 4 y + 1$ par $1$ .

$- 4 y + 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Étape 2.5

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$

Étape 2.6

Divisez chaque terme dans $- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 2.6.1

Divisez chaque terme dans $- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 2.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Étape 2.6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Étape 2.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{- 1}{- 4}$

Étape 2.6.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$ est l’inverse de $f (x) = 3 e^{- 4 x + 1}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = - \frac{\ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3}) + 1}{4}$

Étape 4.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3}) + 1}{4}$

Étape 4.2.4.1.2

Divisez $e^{- 4 x + 1}$ par $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (e^{- 4 x + 1}) + 1}{4}$

Étape 4.2.4.2

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $- 4 x + 1$ de l’exposant.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- ((- 4 x + 1) \ln (e)) + 1}{4}$

Étape 4.2.4.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- ((- 4 x + 1) \cdot 1) + 1}{4}$

Étape 4.2.4.4

Multipliez $- 4 x + 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- (- 4 x + 1) + 1}{4}$

Étape 4.2.4.5

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- (- 4 x) - 1 \cdot 1 + 1}{4}$

Étape 4.2.4.6

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x - 1 \cdot 1 + 1}{4}$

Étape 4.2.4.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x - 1 + 1}{4}$

Étape 4.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.5.1

Associez les termes opposés dans $4 x - 1 + 1$ .

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Étape 4.2.5.1.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Étape 4.2.5.1.2

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x}{4}$

Étape 4.2.5.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x}{4}$

Étape 4.2.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) + 1}$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1.1

Réécrivez $\frac{\ln (\frac{x}{3})}{4}$ comme $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{3} x)$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- (\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{4}) + 1}$

Étape 4.3.3.1.2

Simplifiez $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{3} x)$ en déplaçant $\frac{1}{4}$ dans le logarithme.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln ({(\frac{1}{3} x)}^{\frac{1}{4}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

Étape 4.3.3.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln ({(\frac{x}{3})}^{\frac{1}{4}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

Étape 4.3.3.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{3}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

Étape 4.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

Étape 4.3.3.3

Multipliez $- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}))$ .

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Étape 4.3.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{4 \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

Étape 4.3.3.3.2

Simplifiez $4 \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

Étape 4.3.3.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) + 4 (- 1) (\frac{1}{4}) + 1}$

Étape 4.3.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) + 4 \cdot (- 1 (\frac{1}{4})) + 1}$

Étape 4.3.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) - 1 + 1}$

Étape 4.3.3.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{{(x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Étape 4.3.3.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.3.5.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 4.3.3.5.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Étape 4.3.3.5.2.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.3.5.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Étape 4.3.3.5.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{1}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Étape 4.3.3.5.2.2

Simplifiez

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Étape 4.3.3.5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.3.5.3.1

Multipliez les exposants dans ${(3^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 4.3.3.5.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}) - 1 + 1}$

Étape 4.3.3.5.3.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.3.5.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}) - 1 + 1}$

Étape 4.3.3.5.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{1}}) - 1 + 1}$

Étape 4.3.3.5.3.2

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1}$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1$ .

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Étape 4.3.4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) + 0}$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $\ln (\frac{x}{3})$ et $0$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

Étape 4.3.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 (\frac{x}{3})$

Étape 4.3.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 (\frac{x}{3})$

Étape 4.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$ est l’inverse de $f (x) = 3 e^{- 4 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$