Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ comme une équation.

$y = \frac{x + 1}{x - 1}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{y + 1}{y - 1}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez l’équation par $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $(y - 1) (x)$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y x - 1 x = (\frac{y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y x - x = (\frac{y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y x - x = \frac{y + 1}{y - 1} (y - 1)$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y x - x = y + 1$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$y x - x - y = 1$

Étape 3.4.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$y x - y = 1 + x$

Étape 3.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y x - y$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y x$ .

$y (x) - y = 1 + x$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 1 + x$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 1 + x$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = 1 + x$ par $x - 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = 1 + x$ par $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{1 + x}{x - 1}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{(\frac{x + 1}{x - 1}) - 1}$

Étape 5.2.3

Supprimez les parenthèses.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{(\frac{x + 1}{x - 1}) - 1}$

Étape 5.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $\frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1}$

Étape 5.2.4.2

Associez.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (1 + \frac{x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1} - 1)}$

Étape 5.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6

Simplifiez en annulant.

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Étape 5.2.6.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 5.2.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6.1.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + x + 1}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6.2

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 5.2.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + x + 1}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + x + 1}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 5.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.7.1

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1 + x + 1}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 5.2.7.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 5.2.7.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x + 0}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 5.2.7.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 5.2.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1}$

Étape 5.2.8.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1}$

Étape 5.2.8.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 - 1 \cdot x + 1}$

Étape 5.2.8.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 - x + 1}$

Étape 5.2.8.5

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{0 + 1 + 1}$

Étape 5.2.8.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + 1}$

Étape 5.2.8.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.9.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{1 + x}{x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(\frac{1 + x}{x - 1}) + 1}{(\frac{1 + x}{x - 1}) - 1}$

Étape 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $\frac{\frac{1 + x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + x}{x - 1} - 1}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{1 + x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + x}{x - 1} - 1}$

Étape 5.3.3.2

Associez.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1} + 1)}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1} - 1)}$

Étape 5.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 5.3.5

Simplifiez en annulant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 5.3.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 5.3.5.2

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 5.3.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + (x - 1) \cdot 1}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 5.3.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.6.1

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + x - 1}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 5.3.6.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{x + x + 0}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 5.3.6.3

Additionnez $x + x$ et $0$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{x + x}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 5.3.6.4

Additionnez $x$ et $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 5.3.7

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1}$

Étape 5.3.7.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1}$

Étape 5.3.7.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x - 1 \cdot x + 1}$

Étape 5.3.7.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x - x + 1}$

Étape 5.3.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{x - x + 2}$

Étape 5.3.7.6

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{0 + 2}$

Étape 5.3.7.7

Additionnez $0$ et $2$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.3.8.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$