Algèbre Exemples

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} - 4 a^{4}} \cdot \frac{8 a^{3} + 1}{2 a + 4 a^{2}}$

Étape 1

Factorisez $2 a^{2}$ à partir de $2 a^{2} - 4 a^{4}$ .

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Étape 1.1

Factorisez $2 a^{2}$ à partir de $2 a^{2}$ .

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1) - 4 a^{4}} \cdot \frac{8 a^{3} + 1}{2 a + 4 a^{2}}$

Étape 1.2

Factorisez $2 a^{2}$ à partir de $- 4 a^{4}$ .

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1) + 2 a^{2} (- 2 a^{2})} \cdot \frac{8 a^{3} + 1}{2 a + 4 a^{2}}$

Étape 1.3

Factorisez $2 a^{2}$ à partir de $2 a^{2} (1) + 2 a^{2} (- 2 a^{2})$ .

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1 - 2 a^{2})} \cdot \frac{8 a^{3} + 1}{2 a + 4 a^{2}}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $8 a^{3}$ comme ${(2 a)}^{3}$ .

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1 - 2 a^{2})} \cdot \frac{{(2 a)}^{3} + 1}{2 a + 4 a^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1 - 2 a^{2})} \cdot \frac{{(2 a)}^{3} + 1^{3}}{2 a + 4 a^{2}}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 2 a$ et $b = 1$ .

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1 - 2 a^{2})} \cdot \frac{(2 a + 1) ({(2 a)}^{2} - (2 a) \cdot 1 + 1^{2})}{2 a + 4 a^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de produit à $2 a$ .

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1 - 2 a^{2})} \cdot \frac{(2 a + 1) (2^{2} a^{2} - (2 a) \cdot 1 + 1^{2})}{2 a + 4 a^{2}}$

Étape 2.4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1 - 2 a^{2})} \cdot \frac{(2 a + 1) (4 a^{2} - (2 a) \cdot 1 + 1^{2})}{2 a + 4 a^{2}}$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1 - 2 a^{2})} \cdot \frac{(2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a \cdot 1 + 1^{2})}{2 a + 4 a^{2}}$

Étape 2.4.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1 - 2 a^{2})} \cdot \frac{(2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1^{2})}{2 a + 4 a^{2}}$

Étape 2.4.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1 - 2 a^{2})} \cdot \frac{(2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1)}{2 a + 4 a^{2}}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Factorisez $2 a$ à partir de $2 a + 4 a^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $2 a$ à partir de $2 a$ .

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1 - 2 a^{2})} \cdot \frac{(2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1)}{2 a (1) + 4 a^{2}}$

Étape 3.1.2

Factorisez $2 a$ à partir de $4 a^{2}$ .

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1 - 2 a^{2})} \cdot \frac{(2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1)}{2 a (1) + 2 a (2 a)}$

Étape 3.1.3

Factorisez $2 a$ à partir de $2 a (1) + 2 a (2 a)$ .

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1 - 2 a^{2})} \cdot \frac{(2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1)}{2 a (1 + 2 a)}$

Étape 3.2

Associez.

$\frac{a^{4} ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1))}{2 a^{2} (1 - 2 a^{2}) (2 a (1 + 2 a))}$

Étape 4

Multipliez $a^{2}$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Déplacez $a$ .

$\frac{a^{4} ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1))}{2 (a \cdot a^{2}) (1 - 2 a^{2}) (2 (1 + 2 a))}$

Étape 4.2

Multipliez $a$ par $a^{2}$ .

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Étape 4.2.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{4} ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1))}{2 (a^{1} a^{2}) (1 - 2 a^{2}) (2 (1 + 2 a))}$

Étape 4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a^{4} ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1))}{2 a^{1 + 2} (1 - 2 a^{2}) (2 (1 + 2 a))}$

Étape 4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{a^{4} ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1))}{2 a^{3} (1 - 2 a^{2}) (2 (1 + 2 a))}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $a^{4}$ et $a^{3}$ .

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Étape 5.1

Factorisez $a^{3}$ à partir de $a^{4} ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1))$ .

$\frac{a^{3} (a ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1)))}{2 a^{3} (1 - 2 a^{2}) (2 (1 + 2 a))}$

Étape 5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1

Factorisez $a^{3}$ à partir de $2 a^{3} (1 - 2 a^{2}) (2 (1 + 2 a))$ .

$\frac{a^{3} (a ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1)))}{a^{3} ((2 (1 - 2 a^{2})) (2 (1 + 2 a)))}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{a^{3} (a ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1)))}{a^{3} ((2 (1 - 2 a^{2})) (2 (1 + 2 a)))}$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{a ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1))}{(2 (1 - 2 a^{2})) (2 (1 + 2 a))}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $2 a + 1$ et $1 + 2 a$ .

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Étape 6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{a ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1))}{2 (1 - 2 a^{2}) (2 (2 a + 1))}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{a ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1))}{2 (1 - 2 a^{2}) (2 (2 a + 1))}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{a (4 a^{2} - 2 a + 1)}{2 (1 - 2 a^{2}) \cdot (2)}$

Étape 7

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{a (4 a^{2} - 2 a + 1)}{4 (1 - 2 a^{2})}$