Algèbre Exemples

$\frac{x}{3 x^{2} - 11 x - 42} - \frac{9 x}{5 x^{2} - 22 x - 48}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 42 = - 126$ et dont la somme est $b = - 11$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $- 11$ à partir de $- 11 x$ .

$\frac{x}{3 x^{2} - 11 (x) - 42} - \frac{9 x}{5 x^{2} - 22 x - 48}$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $- 11$ comme $7$ plus $- 18$

$\frac{x}{3 x^{2} + (7 - 18) x - 42} - \frac{9 x}{5 x^{2} - 22 x - 48}$

Étape 1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x}{3 x^{2} + 7 x - 18 x - 42} - \frac{9 x}{5 x^{2} - 22 x - 48}$

Étape 1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{x}{(3 x^{2} + 7 x) - 18 x - 42} - \frac{9 x}{5 x^{2} - 22 x - 48}$

Étape 1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x}{x (3 x + 7) - 6 (3 x + 7)} - \frac{9 x}{5 x^{2} - 22 x - 48}$

Étape 1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 7$ .

$\frac{x}{(3 x + 7) (x - 6)} - \frac{9 x}{5 x^{2} - 22 x - 48}$

Étape 1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot - 48 = - 240$ et dont la somme est $b = - 22$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $- 22$ à partir de $- 22 x$ .

$\frac{x}{(3 x + 7) (x - 6)} - \frac{9 x}{5 x^{2} - 22 (x) - 48}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $- 22$ comme $8$ plus $- 30$

$\frac{x}{(3 x + 7) (x - 6)} - \frac{9 x}{5 x^{2} + (8 - 30) x - 48}$

Étape 1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x}{(3 x + 7) (x - 6)} - \frac{9 x}{5 x^{2} + 8 x - 30 x - 48}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{x}{(3 x + 7) (x - 6)} - \frac{9 x}{(5 x^{2} + 8 x) - 30 x - 48}$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x}{(3 x + 7) (x - 6)} - \frac{9 x}{x (5 x + 8) - 6 (5 x + 8)}$

Étape 1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 x + 8$ .

$\frac{x}{(3 x + 7) (x - 6)} - \frac{9 x}{(5 x + 8) (x - 6)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x}{(3 x + 7) (x - 6)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5 x + 8}{5 x + 8}$ .

$\frac{x}{(3 x + 7) (x - 6)} \cdot \frac{5 x + 8}{5 x + 8} - \frac{9 x}{(5 x + 8) (x - 6)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{9 x}{(5 x + 8) (x - 6)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x + 7}{3 x + 7}$ .

$\frac{x}{(3 x + 7) (x - 6)} \cdot \frac{5 x + 8}{5 x + 8} - \frac{9 x}{(5 x + 8) (x - 6)} \cdot \frac{3 x + 7}{3 x + 7}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(3 x + 7) (x - 6) (5 x + 8)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x}{(3 x + 7) (x - 6)}$ par $\frac{5 x + 8}{5 x + 8}$ .

$\frac{x (5 x + 8)}{(3 x + 7) (x - 6) (5 x + 8)} - \frac{9 x}{(5 x + 8) (x - 6)} \cdot \frac{3 x + 7}{3 x + 7}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{9 x}{(5 x + 8) (x - 6)}$ par $\frac{3 x + 7}{3 x + 7}$ .

$\frac{x (5 x + 8)}{(3 x + 7) (x - 6) (5 x + 8)} - \frac{9 x (3 x + 7)}{(5 x + 8) (x - 6) (3 x + 7)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(3 x + 7) (x - 6) (5 x + 8)$ .

$\frac{x (5 x + 8)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)} - \frac{9 x (3 x + 7)}{(5 x + 8) (x - 6) (3 x + 7)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(5 x + 8) (x - 6) (3 x + 7)$ .

$\frac{x (5 x + 8)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)} - \frac{9 x (3 x + 7)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (5 x + 8) - 9 x (3 x + 7)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Factorisez $x$ à partir de $x (5 x + 8) - 9 x (3 x + 7)$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- 9 x (3 x + 7)$ .

$\frac{x (5 x + 8) + x (- 9 (3 x + 7))}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Étape 6.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x (5 x + 8) + x (- 9 (3 x + 7))$ .

$\frac{x (5 x + 8 - 9 (3 x + 7))}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (5 x + 8 - 9 (3 x) - 9 \cdot 7)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Étape 6.3

Multipliez $3$ par $- 9$ .

$\frac{x (5 x + 8 - 27 x - 9 \cdot 7)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Étape 6.4

Multipliez $- 9$ par $7$ .

$\frac{x (5 x + 8 - 27 x - 63)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Étape 6.5

Soustrayez $27 x$ de $5 x$ .

$\frac{x (- 22 x + 8 - 63)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Étape 6.6

Soustrayez $63$ de $8$ .

$\frac{x (- 22 x - 55)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Étape 6.7

Factorisez $11$ à partir de $- 22 x - 55$ .

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Étape 6.7.1

Factorisez $11$ à partir de $- 22 x$ .

$\frac{x (11 (- 2 x) - 55)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Étape 6.7.2

Factorisez $11$ à partir de $- 55$ .

$\frac{x (11 (- 2 x) + 11 (- 5))}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Étape 6.7.3

Factorisez $11$ à partir de $11 (- 2 x) + 11 (- 5)$ .

$\frac{x (11 (- 2 x - 5))}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

$\frac{x \cdot 11 (- 2 x - 5)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Étape 7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 7.1

Déplacez $11$ à gauche de $x$ .

$\frac{11 \cdot x (- 2 x - 5)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Étape 7.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{11 x (- (2 x) - 5)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Étape 7.3

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$\frac{11 x (- (2 x) - 1 (5))}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Étape 7.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (5)$ .

$\frac{11 x (- (2 x + 5))}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Étape 7.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.5.1

Réécrivez $- (2 x + 5)$ comme $- 1 (2 x + 5)$ .

$\frac{11 x (- 1 (2 x + 5))}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Étape 7.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(11 x) (2 x + 5)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Étape 7.5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(11 x) (2 x + 5)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$ .

$- \frac{11 x (2 x + 5)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$