Algèbre Exemples

$\frac{9}{20 m^{4} + 100 m^{3}} - \frac{2 m^{2}}{3 m^{2} + 16 m + 5}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $20 m^{3}$ à partir de $20 m^{4} + 100 m^{3}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $20 m^{3}$ à partir de $20 m^{4}$ .

$\frac{9}{20 m^{3} (m) + 100 m^{3}} - \frac{2 m^{2}}{3 m^{2} + 16 m + 5}$

Étape 1.1.2

Factorisez $20 m^{3}$ à partir de $100 m^{3}$ .

$\frac{9}{20 m^{3} (m) + 20 m^{3} (5)} - \frac{2 m^{2}}{3 m^{2} + 16 m + 5}$

Étape 1.1.3

Factorisez $20 m^{3}$ à partir de $20 m^{3} (m) + 20 m^{3} (5)$ .

$\frac{9}{20 m^{3} (m + 5)} - \frac{2 m^{2}}{3 m^{2} + 16 m + 5}$

Étape 1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 5 = 15$ et dont la somme est $b = 16$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $16$ à partir de $16 m$ .

$\frac{9}{20 m^{3} (m + 5)} - \frac{2 m^{2}}{3 m^{2} + 16 (m) + 5}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $16$ comme $1$ plus $15$

$\frac{9}{20 m^{3} (m + 5)} - \frac{2 m^{2}}{3 m^{2} + (1 + 15) m + 5}$

Étape 1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9}{20 m^{3} (m + 5)} - \frac{2 m^{2}}{3 m^{2} + 1 m + 15 m + 5}$

Étape 1.2.1.4

Multipliez $m$ par $1$ .

$\frac{9}{20 m^{3} (m + 5)} - \frac{2 m^{2}}{3 m^{2} + m + 15 m + 5}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{9}{20 m^{3} (m + 5)} - \frac{2 m^{2}}{(3 m^{2} + m) + 15 m + 5}$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{9}{20 m^{3} (m + 5)} - \frac{2 m^{2}}{m (3 m + 1) + 5 (3 m + 1)}$

Étape 1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 m + 1$ .

$\frac{9}{20 m^{3} (m + 5)} - \frac{2 m^{2}}{(3 m + 1) (m + 5)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{9}{20 m^{3} (m + 5)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 m + 1}{3 m + 1}$ .

$\frac{9}{20 m^{3} (m + 5)} \cdot \frac{3 m + 1}{3 m + 1} - \frac{2 m^{2}}{(3 m + 1) (m + 5)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{2 m^{2}}{(3 m + 1) (m + 5)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{20 m^{3}}{20 m^{3}}$ .

$\frac{9}{20 m^{3} (m + 5)} \cdot \frac{3 m + 1}{3 m + 1} - \frac{2 m^{2}}{(3 m + 1) (m + 5)} \cdot \frac{20 m^{3}}{20 m^{3}}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $20 (m + 5) (3 m + 1) m^{3}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{9}{20 m^{3} (m + 5)}$ par $\frac{3 m + 1}{3 m + 1}$ .

$\frac{9 (3 m + 1)}{20 m^{3} (m + 5) (3 m + 1)} - \frac{2 m^{2}}{(3 m + 1) (m + 5)} \cdot \frac{20 m^{3}}{20 m^{3}}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{2 m^{2}}{(3 m + 1) (m + 5)}$ par $\frac{20 m^{3}}{20 m^{3}}$ .

$\frac{9 (3 m + 1)}{20 m^{3} (m + 5) (3 m + 1)} - \frac{2 m^{2} (20 m^{3})}{(3 m + 1) (m + 5) (20 m^{3})}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $20 m^{3} (m + 5) (3 m + 1)$ .

$\frac{9 (3 m + 1)}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)} - \frac{2 m^{2} (20 m^{3})}{(3 m + 1) (m + 5) (20 m^{3})}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(3 m + 1) (m + 5) (20 m^{3})$ .

$\frac{9 (3 m + 1)}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)} - \frac{2 m^{2} (20 m^{3})}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 (3 m + 1) - 2 m^{2} (20 m^{3})}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 (3 m) + 9 \cdot 1 - 2 m^{2} (20 m^{3})}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Étape 6.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{27 m + 9 \cdot 1 - 2 m^{2} (20 m^{3})}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Étape 6.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$\frac{27 m + 9 - 2 m^{2} (20 m^{3})}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Étape 6.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{27 m + 9 - 2 \cdot 20 m^{2} m^{3}}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Étape 6.5

Multipliez $m^{2}$ par $m^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.1

Déplacez $m^{3}$ .

$\frac{27 m + 9 - 2 \cdot 20 (m^{3} m^{2})}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Étape 6.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{27 m + 9 - 2 \cdot 20 m^{3 + 2}}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Étape 6.5.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{27 m + 9 - 2 \cdot 20 m^{5}}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Étape 6.6

Multipliez $- 2$ par $20$ .

$\frac{27 m + 9 - 40 m^{5}}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Étape 6.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 40 m^{5} + 27 m + 9}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Étape 7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 40 m^{5}$ .

$\frac{- (40 m^{5}) + 27 m + 9}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Étape 7.2

Factorisez $- 1$ à partir de $27 m$ .

$\frac{- (40 m^{5}) - (- 27 m) + 9}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (40 m^{5}) - (- 27 m)$ .

$\frac{- (40 m^{5} - 27 m) + 9}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Étape 7.4

Réécrivez $9$ comme $- 1 (- 9)$ .

$\frac{- (40 m^{5} - 27 m) - 1 (- 9)}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Étape 7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (40 m^{5} - 27 m) - 1 (- 9)$ .

$\frac{- (40 m^{5} - 27 m - 9)}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Étape 7.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.6.1

Réécrivez $- (40 m^{5} - 27 m - 9)$ comme $- 1 (40 m^{5} - 27 m - 9)$ .

$\frac{- 1 (40 m^{5} - 27 m - 9)}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$

Étape 7.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{40 m^{5} - 27 m - 9}{20 m^{3} (3 m + 1) (m + 5)}$