Algèbre Exemples

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - x - 2$

Étape 1

Définissez $x^{4} + 2 x^{3} - x - 2$ égal à $0$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - x - 2 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{4} + 2 x^{3}) - x - 2 = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{3} (x + 2) - (x + 2) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 2$ .

$(x + 2) (x^{3} - 1) = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$(x + 2) (x^{3} - 1^{3}) = 0$

Étape 2.1.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x + 2) ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez.

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Étape 2.1.5.1

Simplifiez

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Étape 2.1.5.1.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x + 2) ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) = 0$

Étape 2.1.5.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(x + 2) ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0$

Étape 2.1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} + x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} + x + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} + x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez

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Étape 2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ vraie.

$x = - 2, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3