Algèbre Exemples

$f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ comme une équation.

$y = 25 x^{2} + 70 x + 49$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 25 y^{2} + 70 y + 49$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $25 y^{2} + 70 y + 49 = x$ .

$25 y^{2} + 70 y + 49 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$25 y^{2} + 70 y + 49 - x = 0$

Étape 3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs $a = 25$ , $b = 70$ et $c = 49 - x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 70 \pm \sqrt{70^{2} - 4 \cdot (25 \cdot (49 - x))}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Élevez $70$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4 \cdot 25 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $25$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot 49 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.5.1.4

Multipliez $- 100$ par $49$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.5.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 100$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.5.1.6

Soustrayez $4900$ de $4900$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{0 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.5.1.7

Additionnez $0$ et $100 x$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{100 x}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.5.1.8

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{10^{2} x}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.5.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $25$ .

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$

Étape 3.5.3

Simplifiez $\frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$ .

$y = \frac{- 7 \pm \sqrt{x}}{5}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $70$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4 \cdot 25 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $25$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot 49 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.6.1.4

Multipliez $- 100$ par $49$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 100$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.6.1.6

Soustrayez $4900$ de $4900$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{0 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.6.1.7

Additionnez $0$ et $100 x$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{100 x}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.6.1.8

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{10^{2} x}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.6.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $25$ .

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$

Étape 3.6.3

Simplifiez $\frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$ .

$y = \frac{- 7 \pm \sqrt{x}}{5}$

Étape 3.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{- 7 + \sqrt{x}}{5}$

Étape 3.6.5

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{x}}{5}$

Étape 3.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{x}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{x})}{5}$

Étape 3.6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{x})$ .

$y = \frac{- 1 (7 - \sqrt{x})}{5}$

Étape 3.6.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Élevez $70$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4 \cdot 25 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $- 4$ par $25$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot 49 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.7.1.4

Multipliez $- 100$ par $49$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.7.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 100$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.7.1.6

Soustrayez $4900$ de $4900$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{0 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.7.1.7

Additionnez $0$ et $100 x$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{100 x}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.7.1.8

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{10^{2} x}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.7.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{2 \cdot 25}$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $25$ .

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$

Étape 3.7.3

Simplifiez $\frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$ .

$y = \frac{- 7 \pm \sqrt{x}}{5}$

Étape 3.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{- 7 - \sqrt{x}}{5}$

Étape 3.7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 - \sqrt{x}$ .

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Étape 3.7.5.1

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{x}}{5}$

Étape 3.7.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{x}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{x})}{5}$

Étape 3.7.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (7) - (\sqrt{x})$ .

$y = \frac{- 1 (7 + \sqrt{x})}{5}$

Étape 3.7.5.4

Réécrivez $- 1 (7 + \sqrt{x})$ comme $- (7 + \sqrt{x})$ .

$y = \frac{- (7 + \sqrt{x})}{5}$

Étape 3.7.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

Étape 3.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}$

$y = - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}$

$y = - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ est l’inverse de $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ et $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $- \frac{7 - \sqrt{x}}{5}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 5.3.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ .

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Étape 5.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ se trouve sur la plage de $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ est le domaine de $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ est l’inverse de $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

Étape 6