Algèbre Exemples

$y = x^{2} - 5 x + 12$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Complétez le carré pour $x^{2} - 5 x + 12$ .

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Étape 1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 12$

Étape 1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$d = \frac{- 5}{2}$

Étape 1.1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{5}{2}$

Étape 1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 12 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.2.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$e = 12 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 12 - \frac{25}{4}$

Étape 1.1.4.2.2

Pour écrire $12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$e = 12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 1.1.4.2.3

Associez $12$ et $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 1.1.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{12 \cdot 4 - 25}{4}$

Étape 1.1.4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.4.2.5.1

Multipliez $12$ par $4$ .

$e = \frac{48 - 25}{4}$

Étape 1.1.4.2.5.2

Soustrayez $25$ de $48$ .

$e = \frac{23}{4}$

Étape 1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - \frac{5}{2})}^{2} + \frac{23}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + \frac{23}{4}$

Étape 1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} + \frac{23}{4}$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = 1$

$h = \frac{5}{2}$

$k = \frac{23}{4}$

Étape 3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(\frac{5}{2}, \frac{23}{4})$

Étape 5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4}$

Étape 6

Déterminez le foyer.

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Étape 6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{5}{2}, 6)$

Étape 7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = \frac{5}{2}$

Étape 8