Algèbre Exemples

$f (x) = 2 x^{3} - x^{2} - 9 x + 6$

Étape 1

Définissez $2 x^{3} - x^{2} - 9 x + 6$ égal à $0$ .

$2 x^{3} - x^{2} - 9 x + 6 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $2 x^{3} - x^{2} - 9 x + 6$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

Étape 2.1.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$2 \cdot 2^{3} - 2^{2} - 9 \cdot 2 + 6$

Étape 2.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot 8 - 2^{2} - 9 \cdot 2 + 6$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$16 - 2^{2} - 9 \cdot 2 + 6$

Étape 2.1.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$16 - 1 \cdot 4 - 9 \cdot 2 + 6$

Étape 2.1.3.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$16 - 4 - 9 \cdot 2 + 6$

Étape 2.1.3.6

Soustrayez $4$ de $16$ .

$12 - 9 \cdot 2 + 6$

Étape 2.1.3.7

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$12 - 18 + 6$

Étape 2.1.3.8

Soustrayez $18$ de $12$ .

$- 6 + 6$

Étape 2.1.3.9

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$0$

Étape 2.1.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 9 x + 6}{x - 2}$

Étape 2.1.5

Divisez $2 x^{3} - x^{2} - 9 x + 6$ par $x - 2$ .

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Étape 2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$9 x$

$6$

Étape 2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$

Étape 2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Étape 2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} - 4 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Étape 2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Étape 2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$

Étape 2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$

Étape 2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Étape 2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{2} - 6 x$

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Étape 2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$3 x$

Étape 2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$3 x$	+	$6$

Étape 2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$3 x$	+	$6$

Étape 2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$3 x$	+	$6$
							-	$3 x$	+	$6$

Étape 2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x + 6$

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$3 x$	+	$6$
							+	$3 x$	-	$6$

Étape 2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$3 x$	+	$6$
							+	$3 x$	-	$6$
										$0$

Étape 2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} + 3 x - 3$

Étape 2.1.6

Écrivez $2 x^{3} - x^{2} - 9 x + 6$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 2) (2 x^{2} + 3 x - 3) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$2 x^{2} + 3 x - 3 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.4

Définissez $2 x^{2} + 3 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $2 x^{2} + 3 x - 3$ égal à $0$ .

$2 x^{2} + 3 x - 3 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $2 x^{2} + 3 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 3$ et $c = - 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 3)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez

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Étape 2.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 3$ .

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Étape 2.4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 24}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.2.3.1.3

Additionnez $9$ et $24$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{33}}{4}$

Étape 2.4.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{3 - \sqrt{33}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{33}}{4}$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (2 x^{2} + 3 x - 3) = 0$ vraie.

$x = 2, - \frac{3 - \sqrt{33}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{33}}{4}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 2, - \frac{3 - \sqrt{33}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{33}}{4}$

Forme décimale :

$x = 2, 0.68614066 \dots, - 2.18614066 \dots$

Étape 4