Algèbre Exemples

$x^{2} + x < 20$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} + x = 20$

Étape 2

Soustrayez $20$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + x - 20 = 0$

Étape 3

Factorisez $x^{2} + x - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 20$ et dont la somme est $1$ .

$- 4, 5$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 4) (x + 5) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 6

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = 4, - 5$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < 4$

$x > 4$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 8)}^{2} - 8 < 20$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $56$ n’est pas inférieur au côté droit $20$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} + 0 < 20$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $20$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

${(6)}^{2} + 6 < 20$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $42$ n’est pas inférieur au côté droit $20$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 5 < x < 4$

Étape 11

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 5, 4)$

Étape 12