Algèbre Exemples

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${\displaystyle -1+6\cos (\frac{2\pi }{7}\cdot (x-5))}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{d}{dx}[-1]+\frac{d}{dx}\left[6\cos (\frac{2\pi }{7}\cdot (x-5))\right]}$.

Comme ${\displaystyle -1}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle -1}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 0}$.

Comme ${\displaystyle 6}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle 6\cos \left(\frac{2\pi }{7}(x-5)\right)}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 6\frac{d}{dx}\left[\cos \left(\frac{2\pi }{7}(x-5)\right)\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ est ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ où ${\displaystyle f\left(x\right)=\cos \left(x\right)}$ et ${\displaystyle g\left(x\right)=\frac{2\pi }{7}(x-5)}$.

Comme ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}(x-5)}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}\frac{d}{dx}[x-5]}$.

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${\displaystyle x-5}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x\right]+\frac{d}{dx}[-5]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=1}$.

Comme ${\displaystyle -5}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle -5}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 0}$.

Additionnez ${\displaystyle 1}$ et ${\displaystyle 0}$.

Multipliez ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$ par ${\displaystyle 1}$.

Associez ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$ et ${\displaystyle \sin \left(\frac{2\pi }{7}(x-5)\right)}$.

Multipliez ${\displaystyle -1}$ par ${\displaystyle 6}$.

Associez ${\displaystyle -6}$ et ${\displaystyle \frac{2\pi \sin \left(\frac{2\pi }{7}(x-5)\right)}{7}}$.

Multipliez ${\displaystyle 2}$ par ${\displaystyle -6}$.

Placez le signe moins devant la fraction.

Appliquez la propriété distributive.

Associez des termes.

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez ${\displaystyle u}$ comme ${\displaystyle \frac{2\pi x}{7}-\frac{10\pi }{7}}$.

La dérivée de ${\displaystyle \sin \left(u\right)}$ par rapport à ${\displaystyle u}$ est ${\displaystyle \cos \left(u\right)}$.

Remplacez toutes les occurrences de ${\displaystyle u}$ par ${\displaystyle \frac{2\pi x}{7}-\frac{10\pi }{7}}$.

Associez ${\displaystyle \cos (\frac{2\pi x}{7}-\frac{10\pi }{7})}$ et ${\displaystyle \frac{12\pi }{7}}$.

Déplacez ${\displaystyle 12}$ à gauche de ${\displaystyle \cos (\frac{2\pi x}{7}-\frac{10\pi }{7})}$.

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${\displaystyle \frac{2\pi x}{7}-\frac{10\pi }{7}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{2\pi x}{7}\right]+\frac{d}{dx}[-\frac{10\pi }{7}]}$.

Comme ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle \frac{2\pi x}{7}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=1}$.

Multipliez ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$ par ${\displaystyle 1}$.

Comme ${\displaystyle -\frac{10\pi }{7}}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle -\frac{10\pi }{7}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 0}$.

Associez les fractions.

Divisez chaque terme dans ${\displaystyle 12\pi \sin (\frac{2\pi x}{7}-\frac{10\pi }{7})=0}$ par ${\displaystyle 12\pi }$.

Simplifiez le côté gauche.

Simplifiez le côté droit.

La valeur exacte de ${\displaystyle \arcsin \left(0\right)}$ est ${\displaystyle 0}$.

Divisez chaque terme dans ${\displaystyle 2\pi x=10\pi }$ par ${\displaystyle 2\pi }$.

Simplifiez le côté gauche.

Simplifiez le côté droit.

Soustrayez ${\displaystyle 0}$ de ${\displaystyle \pi }$.

Déplacez tous les termes ne contenant pas ${\displaystyle x}$ du côté droit de l’équation.

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

Divisez chaque terme dans ${\displaystyle 2\pi x=17\pi }$ par ${\displaystyle 2\pi }$ et simplifiez.

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Soustrayez ${\displaystyle 10\pi }$ de ${\displaystyle 10\pi }$.

Divisez ${\displaystyle 0}$ par ${\displaystyle 7}$.

La valeur exacte de ${\displaystyle \cos \left(0\right)}$ est ${\displaystyle 1}$.

Multipliez ${\displaystyle 24}$ par ${\displaystyle 1}$.

Simplifiez chaque terme.

Additionnez ${\displaystyle -1}$ et ${\displaystyle 6}$.

La réponse finale est ${\displaystyle 5}$.

Associez ${\displaystyle \frac{17}{2}}$ et ${\displaystyle 2}$.

Associez ${\displaystyle \frac{17\cdot 2}{2}}$ et ${\displaystyle \pi }$.

Réduisez l’expression ${\displaystyle \frac{34\pi }{2}}$ en annulant les facteurs communs.

Divisez ${\displaystyle 17\pi }$ par ${\displaystyle 1}$.

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Soustrayez ${\displaystyle 10\pi }$ de ${\displaystyle 17\pi }$.

Annulez le facteur commun de ${\displaystyle 7}$.

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

La valeur exacte de ${\displaystyle \cos \left(0\right)}$ est ${\displaystyle 1}$.

Multipliez ${\displaystyle -1}$ par ${\displaystyle 1}$.

Multipliez ${\displaystyle -1}$ par ${\displaystyle 24}$.

Multipliez ${\displaystyle -1}$ par ${\displaystyle -1}$.

Multipliez ${\displaystyle \frac{24{\pi }^2}{49}}$ par ${\displaystyle 1}$.

Simplifiez chaque terme.