Algèbre Exemples

$y + 2 x + 3 = - {(x + 2)}^{2} + 1$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$y + 3 = - {(x + 2)}^{2} + 1 - 2 x$

Étape 1.1.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y = - {(x + 2)}^{2} + 1 - 2 x - 3$

Étape 1.1.3

Soustrayez $3$ de $1$ .

$y = - {(x + 2)}^{2} - 2 x - 2$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- {(x + 2)}^{2} - 2 x - 2$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$- ((x + 2) (x + 2)) - 2 x - 2$

Étape 1.2.1.1.2

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (x (x + 2) + 2 (x + 2)) - 2 x - 2$

Étape 1.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) - 2 x - 2$

Étape 1.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 2 x - 2$

Étape 1.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$- (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 2 x - 2$

Étape 1.2.1.1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$- (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) - 2 x - 2$

Étape 1.2.1.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$- (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) - 2 x - 2$

Étape 1.2.1.1.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$- (x^{2} + 4 x + 4) - 2 x - 2$

Étape 1.2.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 4 - 2 x - 2$

Étape 1.2.1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.2.1.1.5.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- x^{2} - 4 x - 1 \cdot 4 - 2 x - 2$

Étape 1.2.1.1.5.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- x^{2} - 4 x - 4 - 2 x - 2$

Étape 1.2.1.2

Soustrayez $2 x$ de $- 4 x$ .

$- x^{2} - 6 x - 4 - 2$

Étape 1.2.1.3

Soustrayez $2$ de $- 4$ .

$- x^{2} - 6 x - 6$

Étape 1.2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = - 6$

$c = - 6$

Étape 1.2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 3$

Étape 1.2.4.2.2

Réécrivez $- 1 \cdot - 3$ comme $- - 3$ .

$d = - - 3$

Étape 1.2.4.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$d = 3$

Étape 1.2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 6 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$e = - 6 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = - 6 - \frac{36}{- 4}$

Étape 1.2.5.2.1.3

Divisez $36$ par $- 4$ .

$e = - 6 - - 9$

Étape 1.2.5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$e = - 6 + 9$

Étape 1.2.5.2.2

Additionnez $- 6$ et $9$ .

$e = 3$

Étape 1.2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(x + 3)}^{2} + 3$ .

$- {(x + 3)}^{2} + 3$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - {(x + 3)}^{2} + 3$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - 1$

$h = - 3$

$k = 3$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 3, 3)$

Étape 4