Algèbre Exemples

$\frac{x^{2}}{40} - \frac{y^{2}}{81} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{x^{2}}{40} - \frac{y^{2}}{81} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 2 \sqrt{10}$

$b = 9$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 4.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(2 \sqrt{10})}^{2} + {(9)}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{10}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{10}}^{2} + {(9)}^{2}}$

Étape 4.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{10}}^{2} + {(9)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 4.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(9)}^{2}}$

Étape 4.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(9)}^{2}}$

Étape 4.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 10^{\frac{2}{2}} + {(9)}^{2}}$

Étape 4.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{4 \cdot 10^{\frac{2}{2}} + {(9)}^{2}}$

Étape 4.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{4 \cdot 10^{1} + {(9)}^{2}}$

Étape 4.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{4 \cdot 10 + {(9)}^{2}}$

Étape 4.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $4$ par $10$ .

$\sqrt{40 + {(9)}^{2}}$

Étape 4.3.3.2

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{40 + 81}$

Étape 4.3.3.3

Additionnez $40$ et $81$ .

$\sqrt{121}$

Étape 4.3.3.4

Réécrivez $121$ comme $11^{2}$ .

$\sqrt{11^{2}}$

Étape 4.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$11$

Étape 5

Déterminez les foyers.

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Étape 5.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(11, 0)$

Étape 5.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 5.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 11, 0)$

Étape 5.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(11, 0), (- 11, 0)$

Étape 6