Algèbre Exemples

$y = 5 x^{2} + 10$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 5 y^{2} + 10$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $5 y^{2} + 10 = x$ .

$5 y^{2} + 10 = x$

Étape 2.2

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$5 y^{2} = x - 10$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $5 y^{2} = x - 10$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $5 y^{2} = x - 10$ par $5$ .

$\frac{5 y^{2}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 10}{5}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 y^{2}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 10}{5}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{5} + \frac{- 10}{5}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $- 10$ par $5$ .

$y^{2} = \frac{x}{5} - 2$

Étape 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{5} - 2}$

Étape 2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{x}{5} - 2}$ .

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Étape 2.5.1

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5}}$

Étape 2.5.2

Associez $- 2$ et $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5}}$

Étape 2.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 2 \cdot 5}{5}}$

Étape 2.5.4

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 10}{5}}$

Étape 2.5.5

Réécrivez $\sqrt{\frac{x - 10}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{x - 10}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10}}{\sqrt{5}}$

Étape 2.5.6

Multipliez $\frac{\sqrt{x - 10}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 2.5.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.7.1

Multipliez $\frac{\sqrt{x - 10}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 2.5.7.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 2.5.7.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 2.5.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 2.5.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 2.5.7.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 2.5.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.5.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.5.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 2.5.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{5}$

Étape 2.5.8

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 10) \cdot 5}}{5}$

Étape 2.5.9

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(x - 10) \cdot 5}}{5}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

Étape 2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

Étape 2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

Étape 2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$ est l’inverse de $f (x) = 5 x^{2} + 10$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = 5 x^{2} + 10$ et $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$ puis comparez-les.

Étape 4.2

Déterminez la plage de $f (x) = 5 x^{2} + 10$ .

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Étape 4.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[10, \infty)$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de $\frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$ .

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Étape 4.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{5 (x - 10)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$5 (x - 10) \geq 0$

Étape 4.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.2.1

Divisez chaque terme dans $5 (x - 10) \geq 0$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 4.3.2.1.1

Divisez chaque terme dans $5 (x - 10) \geq 0$ par $5$ .

$\frac{5 (x - 10)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.3.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (x - 10)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Étape 4.3.2.1.2.1.2

Divisez $x - 10$ par $1$ .

$x - 10 \geq \frac{0}{5}$

Étape 4.3.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.1.3.1

Divisez $0$ par $5$ .

$x - 10 \geq 0$

Étape 4.3.2.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x \geq 10$

Étape 4.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[10, \infty)$

Étape 4.4

Déterminez le domaine de $f (x) = 5 x^{2} + 10$ .

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Étape 4.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 4.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$ se trouve sur la plage de $f (x) = 5 x^{2} + 10$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$ est le domaine de $f (x) = 5 x^{2} + 10$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$ est l’inverse de $f (x) = 5 x^{2} + 10$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

Étape 5