Algèbre Exemples

${(2 z + 5 k)}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(2 z)}^{4 - k} \cdot {(5 k)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(2 z)}^{4 - 0} \cdot {(5 k)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(2 z)}^{4 - 1} \cdot {(5 k)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(2 z)}^{4 - 2} \cdot {(5 k)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(2 z)}^{4 - 3} \cdot {(5 k)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(2 z)}^{4 - 4} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(2 z)}^{4} \cdot {(5 k)}^{0} + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(2 z)}^{4}$ par $1$ .

${(2 z)}^{4} \cdot {(5 k)}^{0} + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $2 z$ .

$2^{4} z^{4} \cdot {(5 k)}^{0} + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$16 z^{4} \cdot {(5 k)}^{0} + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $5 k$ .

$16 z^{4} \cdot (5^{0} k^{0}) + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$16 \cdot 5^{0} z^{4} k^{0} + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$16 \cdot 1 z^{4} k^{0} + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.7

Multipliez $16$ par $1$ .

$16 z^{4} k^{0} + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$16 z^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.9

Multipliez $16$ par $1$ .

$16 z^{4} + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.10

Appliquez la règle de produit à $2 z$ .

$16 z^{4} + 4 \cdot (2^{3} z^{3}) \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.11

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$16 z^{4} + 4 \cdot (8 z^{3}) \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.12

Multipliez $8$ par $4$ .

$16 z^{4} + 32 z^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.13

Simplifiez

$16 z^{4} + 32 z^{3} \cdot (5 k) + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.14

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$16 z^{4} + 32 \cdot 5 z^{3} k + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.15

Multipliez $32$ par $5$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.16

Appliquez la règle de produit à $2 z$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 6 \cdot (2^{2} z^{2}) \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.17

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 6 \cdot (4 z^{2}) \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.18

Multipliez $4$ par $6$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 24 z^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.19

Appliquez la règle de produit à $5 k$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 24 z^{2} \cdot (5^{2} k^{2}) + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.20

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 24 \cdot 5^{2} z^{2} k^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.21

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 24 \cdot 25 z^{2} k^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.22

Multipliez $24$ par $25$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.23

Simplifiez

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 4 \cdot (2 z) \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.24

Multipliez $2$ par $4$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 8 z \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.25

Appliquez la règle de produit à $5 k$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 8 z \cdot (5^{3} k^{3}) + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.26

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 8 \cdot 5^{3} z k^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.27

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 8 \cdot 125 z k^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.28

Multipliez $8$ par $125$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 1000 z k^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.29

Multipliez ${(2 z)}^{0}$ par $1$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 1000 z k^{3} + {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.30

Appliquez la règle de produit à $2 z$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 1000 z k^{3} + 2^{0} z^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.31

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 1000 z k^{3} + 1 z^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.32

Multipliez $z^{0}$ par $1$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 1000 z k^{3} + z^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.33

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 1000 z k^{3} + 1 \cdot {(5 k)}^{4}$

Étape 4.34

Multipliez ${(5 k)}^{4}$ par $1$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 1000 z k^{3} + {(5 k)}^{4}$

Étape 4.35

Appliquez la règle de produit à $5 k$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 1000 z k^{3} + 5^{4} k^{4}$

Étape 4.36

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 1000 z k^{3} + 625 k^{4}$