Algèbre Exemples

$12 y = {(x - 1)}^{2} - 48$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $12 y = {(x - 1)}^{2} - 48$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1.1

Divisez chaque terme dans $12 y = {(x - 1)}^{2} - 48$ par $12$ .

$\frac{12 y}{12} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{12} + \frac{- 48}{12}$

Étape 1.1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 1.1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 y}{12} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{12} + \frac{- 48}{12}$

Étape 1.1.1.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{{(x - 1)}^{2}}{12} + \frac{- 48}{12}$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.3.1

Divisez $- 48$ par $12$ .

$y = \frac{{(x - 1)}^{2}}{12} - 4$

Étape 1.1.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{12} \cdot {(x - 1)}^{2} - 4$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $\frac{1}{12} \cdot {(x - 1)}^{2} - 4$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{12} \cdot ((x - 1) (x - 1)) - 4$

Étape 1.2.1.1.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{12} \cdot (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - 4$

Étape 1.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - 4$

Étape 1.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 4$

Étape 1.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 4$

Étape 1.2.1.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 4$

Étape 1.2.1.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 4$

Étape 1.2.1.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - 4$

Étape 1.2.1.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} - x - x + 1) - 4$

Étape 1.2.1.1.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} - 2 x + 1) - 4$

Étape 1.2.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{12} x^{2} + \frac{1}{12} (- 2 x) + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Étape 1.2.1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.2.1.1.5.1

Associez $\frac{1}{12}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{12} (- 2 x) + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Étape 1.2.1.1.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.1.1.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{2 (6)} (- 2 x) + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Étape 1.2.1.1.5.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{2 (6)} (2 (- x)) + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Étape 1.2.1.1.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{2 \cdot 6} (2 (- x)) + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Étape 1.2.1.1.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{6} (- x) + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Étape 1.2.1.1.5.3

Associez $\frac{1}{6}$ et $x$ .

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Étape 1.2.1.1.5.4

Multipliez $\frac{1}{12}$ par $1$ .

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{1}{12} - 4$

Étape 1.2.1.2

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{1}{12} - 4 \cdot \frac{12}{12}$

Étape 1.2.1.3

Associez $- 4$ et $\frac{12}{12}$ .

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{1}{12} + \frac{- 4 \cdot 12}{12}$

Étape 1.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{1 - 4 \cdot 12}{12}$

Étape 1.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1.5.1

Multipliez $- 4$ par $12$ .

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{1 - 48}{12}$

Étape 1.2.1.5.2

Soustrayez $48$ de $1$ .

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{- 47}{12}$

Étape 1.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} - \frac{47}{12}$

Étape 1.2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{12}$

$b = - \frac{1}{6}$

$c = - \frac{47}{12}$

Étape 1.2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{1}{6}}{2 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.4.2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{12}$ .

$d = - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2}{12}}$

Étape 1.2.4.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $12$ .

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Étape 1.2.4.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}}$

Étape 1.2.4.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$d = - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Étape 1.2.4.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Étape 1.2.4.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Étape 1.2.4.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{1}{6} (1 \cdot 6)$

Étape 1.2.4.2.5

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 1.2.4.2.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{6}$ dans le numérateur.

$d = \frac{- 1}{6} (1 \cdot 6)$

Étape 1.2.4.2.5.2

Factorisez $6$ à partir de $1 \cdot 6$ .

$d = \frac{- 1}{6} (6 \cdot 1)$

Étape 1.2.4.2.5.3

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 1}{6} (6 \cdot 1)$

Étape 1.2.4.2.5.4

Réécrivez l’expression.

$d = - 1$

Étape 1.2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{47}{12} - \frac{{(- \frac{1}{6})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{6}$ .

$e = - \frac{47}{12} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{6})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{47}{12} - \frac{1 {(\frac{1}{6})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{6}$ .

$e = - \frac{47}{12} - \frac{1 \frac{1^{2}}{6^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e = - \frac{47}{12} - \frac{1 \frac{1}{6^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.5

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{47}{12} - \frac{1 (\frac{1}{36})}{4 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.6

Multipliez $\frac{1}{36}$ par $1$ .

$e = - \frac{47}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{4 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{12}$ .

$e = - \frac{47}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{4}{12}}$

Étape 1.2.5.2.1.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $12$ .

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Étape 1.2.5.2.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$e = - \frac{47}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{4 (1)}{12}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.5.2.1.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$e = - \frac{47}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{47}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{47}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{3}}$

Étape 1.2.5.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = - \frac{47}{12} - (\frac{1}{36} \cdot 3)$

Étape 1.2.5.2.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.5.2.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $36$ .

$e = - \frac{47}{12} - (\frac{1}{3 (12)} \cdot 3)$

Étape 1.2.5.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{47}{12} - (\frac{1}{3 \cdot 12} \cdot 3)$

Étape 1.2.5.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{47}{12} - \frac{1}{12}$

Étape 1.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 47 - 1}{12}$

Étape 1.2.5.2.3

Soustrayez $1$ de $- 47$ .

$e = \frac{- 48}{12}$

Étape 1.2.5.2.4

Divisez $- 48$ par $12$ .

$e = - 4$

Étape 1.2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{12} {(x - 1)}^{2} - 4$ .

$\frac{1}{12} {(x - 1)}^{2} - 4$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = \frac{1}{12} \cdot {(x - 1)}^{2} - 4$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{12}$

$h = 1$

$k = - 4$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(1, - 4)$

Étape 4

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 4.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 4.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{12}}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Associez $4$ et $\frac{1}{12}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{12}}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{12}}$

Étape 4.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Étape 4.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Étape 4.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{1}{3}}$

Étape 4.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \cdot 3$

Étape 4.3.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 5

Déterminez le foyer.

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Étape 5.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(1, - 1)$

Étape 6