Algèbre Exemples

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 25 x + 100$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = x^{3} - 4 x^{2} - 25 x + 100$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $x^{3} - 4 x^{2} - 25 x + 100 = 0$ .

$x^{3} - 4 x^{2} - 25 x + 100 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{3} - 4 x^{2}) - 25 x + 100 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{2} (x - 4) - 25 (x - 4) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 4$ .

$(x - 4) (x^{2} - 25) = 0$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$(x - 4) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.4

Factorisez.

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Étape 1.2.2.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$(x - 4) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Étape 1.2.2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 4) (x + 5) (x - 5) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 1.2.4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 1.2.5

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 1.2.6

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 1.2.6.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (x + 5) (x - 5) = 0$ vraie.

$x = 4, - 5, 5$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(4, 0), (- 5, 0), (5, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2} - 25 \cdot 0 + 100$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{3} - 4 {(0)}^{2} - 25 \cdot 0 + 100$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{3} - 4 \cdot 0^{2} - 25 \cdot 0 + 100$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2} - 25 \cdot 0 + 100$

Étape 2.2.4

Simplifiez ${(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2} - 25 \cdot 0 + 100$ .

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 4 {(0)}^{2} - 25 \cdot 0 + 100$

Étape 2.2.4.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 4 \cdot 0 - 25 \cdot 0 + 100$

Étape 2.2.4.1.3

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$y = 0 + 0 - 25 \cdot 0 + 100$

Étape 2.2.4.1.4

Multipliez $- 25$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 100$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.2.4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 + 100$

Étape 2.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 100$

Étape 2.2.4.2.3

Additionnez $0$ et $100$ .

$y = 100$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 100)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(4, 0), (- 5, 0), (5, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 100)$

Étape 4