Algèbre Exemples

$y = 4^{2 x + 9}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 4^{2 y + 9}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $4^{2 y + 9} = x$ .

$4^{2 y + 9} = x$

Étape 2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (4^{2 y + 9}) = \ln (x)$

Étape 2.3

Développez $\ln (4^{2 y + 9})$ en déplaçant $2 y + 9$ hors du logarithme.

$(2 y + 9) \ln (4) = \ln (x)$

Étape 2.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 y \ln (4) + 9 \ln (4) = \ln (x)$

Étape 2.5

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 y \ln (4) + 9 \ln (4) - \ln (x) = 0$

Étape 2.6

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.6.1

Soustrayez $9 \ln (4)$ des deux côtés de l’équation.

$2 y \ln (4) - \ln (x) = - 9 \ln (4)$

Étape 2.6.2

Ajoutez $\ln (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y \ln (4) = - 9 \ln (4) + \ln (x)$

Étape 2.7

Divisez chaque terme dans $2 y \ln (4) = - 9 \ln (4) + \ln (x)$ par $2 \ln (4)$ et simplifiez.

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Étape 2.7.1

Divisez chaque terme dans $2 y \ln (4) = - 9 \ln (4) + \ln (x)$ par $2 \ln (4)$ .

$\frac{2 y \ln (4)}{2 \ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Étape 2.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.7.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y \ln (4)}{2 \ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Étape 2.7.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Étape 2.7.2.2

Annulez le facteur commun de $\ln (4)$ .

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Étape 2.7.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Étape 2.7.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Étape 2.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.3.1.1

Annulez le facteur commun de $\ln (4)$ .

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Étape 2.7.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Étape 2.7.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Étape 2.7.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$ est l’inverse de $f (x) = 4^{2 x + 9}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9}$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (4^{2 x + 9})}{2 \ln (4)}$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Développez $\ln (4^{2 x + 9})$ en déplaçant $2 x + 9$ hors du logarithme.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{(2 x + 9) \ln (4)}{2 \ln (4)}$

Étape 4.2.3.2

Annulez le facteur commun de $\ln (4)$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{(2 x + 9) \ln (4)}{2 \ln (4)}$

Étape 4.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{2 x + 9}{2}$

Étape 4.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{- 9 + 2 x + 9}{2}$

Étape 4.2.4.2

Associez les termes opposés dans $- 9 + 2 x + 9$ .

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Étape 4.2.4.2.1

Additionnez $- 9$ et $9$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{2 x + 0}{2}$

Étape 4.2.4.2.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{2 x}{2}$

Étape 4.2.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{2 x}{2}$

Étape 4.2.4.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) + 9}$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1.1

Simplifiez $2 \ln (4)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{\ln (4^{2})}) + 9}$

Étape 4.3.3.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Étape 4.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2}) + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Étape 4.3.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{9}{2}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (\frac{- 9}{2}) + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Étape 4.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (\frac{- 9}{2}) + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Étape 4.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{- 9 + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Étape 4.3.3.4

Multipliez $2 \frac{\ln (x)}{\ln (16)}$ .

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Étape 4.3.3.4.1

Associez $2$ et $\frac{\ln (x)}{\ln (16)}$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{- 9 + \frac{2 \ln (x)}{\ln (16)} + 9}$

Étape 4.3.3.4.2

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{- 9 + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)} + 9}$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $- 9 + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)} + 9$ .

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Étape 4.3.4.1

Additionnez $- 9$ et $9$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{0 + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)}}$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $0$ et $\frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)}$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{\frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)}}$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$ est l’inverse de $f (x) = 4^{2 x + 9}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$