Algèbre Exemples

$f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$ comme une équation.

$y = 50000 {(0.8)}^{x}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 50000 {(0.8)}^{y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $50000 \cdot {0.8}^{y} = x$ .

$50000 \cdot {0.8}^{y} = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $50000 \cdot {0.8}^{y} = x$ par $50000$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $50000 \cdot {0.8}^{y} = x$ par $50000$ .

$\frac{50000 \cdot {0.8}^{y}}{50000} = \frac{x}{50000}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $50000$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{50000 \cdot {0.8}^{y}}{50000} = \frac{x}{50000}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez ${0.8}^{y}$ par $1$ .

${0.8}^{y} = \frac{x}{50000}$

Étape 3.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({0.8}^{y}) = \ln (\frac{x}{50000})$

Étape 3.4

Développez $\ln ({0.8}^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (0.8) = \ln (\frac{x}{50000})$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $y \ln (0.8) = \ln (\frac{x}{50000})$ par $\ln (0.8)$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $y \ln (0.8) = \ln (\frac{x}{50000})$ par $\ln (0.8)$ .

$\frac{y \ln (0.8)}{\ln (0.8)} = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (0.8)$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (0.8)}{\ln (0.8)} = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

Étape 3.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$ est l’inverse de $f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{\ln (\frac{50000 {(0.8)}^{x}}{50000})}{\ln (0.8)}$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun de $50000$ .

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{\ln (\frac{50000 {(0.8)}^{x}}{50000})}{\ln (0.8)}$

Étape 5.2.3.2

Divisez ${(0.8)}^{x}$ par $1$ .

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{\ln ({(0.8)}^{x})}{\ln (0.8)}$

Étape 5.2.4

Développez $\ln ({(0.8)}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{x \ln (0.8)}{\ln (0.8)}$

Étape 5.2.5

Annulez le facteur commun de $\ln (0.8)$ .

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Étape 5.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{x \ln (0.8)}{\ln (0.8)}$

Étape 5.2.5.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 {(0.8)}^{\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}}$

Étape 5.3.3

Utilisez la règle du changement de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 \cdot {0.8}^{\log_{0.8} (\frac{x}{50000})}$

Étape 5.3.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 \cdot \frac{x}{50000}$

Étape 5.3.5

Annulez le facteur commun de $50000$ .

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Étape 5.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 \cdot \frac{x}{50000}$

Étape 5.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$ est l’inverse de $f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$