Algèbre Exemples

$\frac{2 b}{{(b + a)}^{2}} + \frac{2 a}{(b^{2} - a^{2})}$

Étape 1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = b$ et $b = a$ .

$\frac{2 b}{{(b + a)}^{2}} + \frac{2 a}{(b + a) (b - a)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2 b}{{(b + a)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{b - a}{b - a}$ .

$\frac{2 b}{{(b + a)}^{2}} \cdot \frac{b - a}{b - a} + \frac{2 a}{(b + a) (b - a)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{2 a}{(b + a) (b - a)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{b + a}{b + a}$ .

$\frac{2 b}{{(b + a)}^{2}} \cdot \frac{b - a}{b - a} + \frac{2 a}{(b + a) (b - a)} \cdot \frac{b + a}{b + a}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(b - a) {(b + a)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2 b}{{(b + a)}^{2}}$ par $\frac{b - a}{b - a}$ .

$\frac{2 b (b - a)}{{(b + a)}^{2} (b - a)} + \frac{2 a}{(b + a) (b - a)} \cdot \frac{b + a}{b + a}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{2 a}{(b + a) (b - a)}$ par $\frac{b + a}{b + a}$ .

$\frac{2 b (b - a)}{{(b + a)}^{2} (b - a)} + \frac{2 a (b + a)}{(b + a) (b - a) (b + a)}$

Étape 4.3

Élevez $b + a$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 b (b - a)}{{(b + a)}^{2} (b - a)} + \frac{2 a (b + a)}{{(b + a)}^{1} (b + a) (b - a)}$

Étape 4.4

Élevez $b + a$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 b (b - a)}{{(b + a)}^{2} (b - a)} + \frac{2 a (b + a)}{{(b + a)}^{1} {(b + a)}^{1} (b - a)}$

Étape 4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 b (b - a)}{{(b + a)}^{2} (b - a)} + \frac{2 a (b + a)}{{(b + a)}^{1 + 1} (b - a)}$

Étape 4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 b (b - a)}{{(b + a)}^{2} (b - a)} + \frac{2 a (b + a)}{{(b + a)}^{2} (b - a)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 b (b - a) + 2 a (b + a)}{{(b + a)}^{2} (b - a)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 b (b - a) + 2 a (b + a)$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 b (b - a)$ .

$\frac{2 (b (b - a)) + 2 a (b + a)}{{(b + a)}^{2} (b - a)}$

Étape 6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 a (b + a)$ .

$\frac{2 (b (b - a)) + 2 (a (b + a))}{{(b + a)}^{2} (b - a)}$

Étape 6.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (b (b - a)) + 2 (a (b + a))$ .

$\frac{2 (b (b - a) + a (b + a))}{{(b + a)}^{2} (b - a)}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (b \cdot b + b (- a) + a (b + a))}{{(b + a)}^{2} (b - a)}$

Étape 6.3

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{2 (b^{2} + b (- a) + a (b + a))}{{(b + a)}^{2} (b - a)}$

Étape 6.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 (b^{2} - b a + a (b + a))}{{(b + a)}^{2} (b - a)}$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (b^{2} - b a + a b + a \cdot a)}{{(b + a)}^{2} (b - a)}$

Étape 6.6

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{2 (b^{2} - b a + a b + a^{2})}{{(b + a)}^{2} (b - a)}$

Étape 6.7

Additionnez $- b a$ et $a b$ .

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Étape 6.7.1

Déplacez $b$ .

$\frac{2 (b^{2} - a b + a b + a^{2})}{{(b + a)}^{2} (b - a)}$

Étape 6.7.2

Additionnez $- a b$ et $a b$ .

$\frac{2 (b^{2} + 0 + a^{2})}{{(b + a)}^{2} (b - a)}$

Étape 6.8

Additionnez $b^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 (b^{2} + a^{2})}{{(b + a)}^{2} (b - a)}$