Algèbre Exemples

$y + 7.5 = 2 {(x + 2.5)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Soustrayez $7.5$ des deux côtés de l’équation.

$y = 2 {(x + 2.5)}^{2} - 7.5$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $2 {(x + 2.5)}^{2} - 7.5$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

Réécrivez ${(x + 2.5)}^{2}$ comme $(x + 2.5) (x + 2.5)$ .

$2 ((x + 2.5) (x + 2.5)) - 7.5$

Étape 1.2.1.1.2

Développez $(x + 2.5) (x + 2.5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (x + 2.5) + 2.5 (x + 2.5)) - 7.5$

Étape 1.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x \cdot x + x \cdot 2.5 + 2.5 (x + 2.5)) - 7.5$

Étape 1.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x \cdot x + x \cdot 2.5 + 2.5 x + 2.5 \cdot 2.5) - 7.5$

Étape 1.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 (x^{2} + x \cdot 2.5 + 2.5 x + 2.5 \cdot 2.5) - 7.5$

Étape 1.2.1.1.3.1.2

Déplacez $2.5$ à gauche de $x$ .

$2 (x^{2} + 2.5 \cdot x + 2.5 x + 2.5 \cdot 2.5) - 7.5$

Étape 1.2.1.1.3.1.3

Multipliez $2.5$ par $2.5$ .

$2 (x^{2} + 2.5 x + 2.5 x + 6.25) - 7.5$

Étape 1.2.1.1.3.2

Additionnez $2.5 x$ et $2.5 x$ .

$2 (x^{2} + 5 x + 6.25) - 7.5$

Étape 1.2.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 2 (5 x) + 2 \cdot 6.25 - 7.5$

Étape 1.2.1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.2.1.1.5.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$2 x^{2} + 10 x + 2 \cdot 6.25 - 7.5$

Étape 1.2.1.1.5.2

Multipliez $2$ par $6.25$ .

$2 x^{2} + 10 x + 12.5 - 7.5$

Étape 1.2.1.2

Soustrayez $7.5$ de $12.5$ .

$2 x^{2} + 10 x + 5$

Étape 1.2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 2$

$b = 10$

$c = 5$

Étape 1.2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{10}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun à $10$ et $2$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (2)}$

Étape 1.2.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{5}{2}$

Étape 1.2.4.2.2

Annulez le facteur commun à $5$ et $2$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1

Réécrivez $5$ comme $1 (5)$ .

$d = \frac{1 (5)}{2}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.2.2.1

Réécrivez $2$ comme $1 (2)$ .

$d = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{5}{2}$

Étape 1.2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.2.1.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$e = 5 - \frac{100}{4 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$e = 5 - \frac{100}{8}$

Étape 1.2.5.2.1.3

Annulez le facteur commun à $100$ et $8$ .

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Étape 1.2.5.2.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $100$ .

$e = 5 - \frac{4 (25)}{8}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.5.2.1.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$e = 5 - \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = 5 - \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = 5 - \frac{25}{2}$

Étape 1.2.5.2.2

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$e = 5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}$

Étape 1.2.5.2.3

Associez $5$ et $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}$

Étape 1.2.5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{5 \cdot 2 - 25}{2}$

Étape 1.2.5.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.5.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$e = \frac{10 - 25}{2}$

Étape 1.2.5.2.5.2

Soustrayez $25$ de $10$ .

$e = \frac{- 15}{2}$

Étape 1.2.5.2.6

Annulez le facteur commun à $- 15$ et $2$ .

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Étape 1.2.5.2.6.1

Réécrivez $- 15$ comme $1 (- 15)$ .

$e = \frac{1 (- 15)}{2}$

Étape 1.2.5.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.5.2.6.2.1

Réécrivez $2$ comme $1 (2)$ .

$e = \frac{1 \cdot - 15}{1 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{1 \cdot - 15}{1 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{- 15}{2}$

Étape 1.2.5.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{15}{2}$

Étape 1.2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $2 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{15}{2}$ .

$2 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{15}{2}$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = 2 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{15}{2}$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = 2$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = - \frac{15}{2}$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{2}, - \frac{15}{2})$

Étape 4

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 4.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 4.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Étape 4.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{8}$

Étape 5

Déterminez la directrice.

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Étape 5.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - \frac{61}{8}$

Étape 6