Algèbre Exemples

$x^{2} \leq 2 x + 4$

Étape 1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} - 2 x \leq 4$

Étape 2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} - 2 x - 4 \leq 0$

Étape 3

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Étape 4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = - 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3

Additionnez $4$ et $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.3

Additionnez $4$ et $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Étape 7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 1 + \sqrt{5}$

Étape 8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Étape 8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.3

Additionnez $4$ et $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 8.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Étape 8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 1 - \sqrt{5}$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 1 - \sqrt{5}$

$1 - \sqrt{5} < x < 1 + \sqrt{5}$

$x > 1 + \sqrt{5}$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 1 - \sqrt{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 1 - \sqrt{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 4)}^{2} \leq 2 (- 4) + 4$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $16$ est supérieur au côté droit $- 4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $1 - \sqrt{5} < x < 1 + \sqrt{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 - \sqrt{5} < x < 1 + \sqrt{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} \leq 2 (0) + 4$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1 + \sqrt{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1 + \sqrt{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

${(6)}^{2} \leq 2 (6) + 4$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $36$ est supérieur au côté droit $16$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 1 - \sqrt{5}$ Faux

$1 - \sqrt{5} < x < 1 + \sqrt{5}$ Vrai

$x > 1 + \sqrt{5}$ Faux

$x < 1 - \sqrt{5}$ Faux

$1 - \sqrt{5} < x < 1 + \sqrt{5}$ Vrai

$x > 1 + \sqrt{5}$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$1 - \sqrt{5} \leq x \leq 1 + \sqrt{5}$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$[1 - \sqrt{5}, 1 + \sqrt{5}]$

Étape 14