Algèbre Exemples

$y = e^{x + 3} - 4$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = e^{y + 3} - 4$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $e^{y + 3} - 4 = x$ .

$e^{y + 3} - 4 = x$

Étape 2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$e^{y + 3} = x + 4$

Étape 2.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y + 3}) = \ln (x + 4)$

Étape 2.4

Développez le côté gauche.

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Étape 2.4.1

Développez $\ln (e^{y + 3})$ en déplaçant $y + 3$ hors du logarithme.

$(y + 3) \ln (e) = \ln (x + 4)$

Étape 2.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(y + 3) \cdot 1 = \ln (x + 4)$

Étape 2.4.3

Multipliez $y + 3$ par $1$ .

$y + 3 = \ln (x + 4)$

Étape 2.5

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y = \ln (x + 4) - 3$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 4) - 3$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \ln (x + 4) - 3$ est l’inverse de $f (x) = e^{x + 3} - 4$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (e^{x + 3} - 4)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = \ln ((e^{x + 3} - 4) + 4) - 3$

Étape 4.2.3

Associez les termes opposés dans $\ln ((e^{x + 3} - 4) + 4) - 3$ .

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Étape 4.2.3.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = \ln (e^{x + 3} + 0) - 3$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $e^{x + 3}$ et $0$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = \ln (e^{x + 3}) - 3$

Étape 4.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x + 3$ de l’exposant.

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = (x + 3) \ln (e) - 3$

Étape 4.2.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = (x + 3) \cdot 1 - 3$

Étape 4.2.4.3

Multipliez $x + 3$ par $1$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = x + 3 - 3$

Étape 4.2.5

Associez les termes opposés dans $x + 3 - 3$ .

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Étape 4.2.5.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = x + 0$

Étape 4.2.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\ln (x + 4) - 3)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\ln (x + 4) - 3) = e^{(\ln (x + 4) - 3) + 3} - 4$

Étape 4.3.3

Associez les termes opposés dans $e^{(\ln (x + 4) - 3) + 3} - 4$ .

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Étape 4.3.3.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f (\ln (x + 4) - 3) = e^{\ln (x + 4) + 0} - 4$

Étape 4.3.3.2

Additionnez $\ln (x + 4)$ et $0$ .

$f (\ln (x + 4) - 3) = e^{\ln (x + 4)} - 4$

Étape 4.3.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (x + 4) - 3) = x + 4 - 4$

Étape 4.3.5

Associez les termes opposés dans $x + 4 - 4$ .

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Étape 4.3.5.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (\ln (x + 4) - 3) = x + 0$

Étape 4.3.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\ln (x + 4) - 3) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \ln (x + 4) - 3$ est l’inverse de $f (x) = e^{x + 3} - 4$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 4) - 3$