Algèbre Exemples

$y = \frac{1}{4} x^{3} - 2$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{4} y^{3} - 2$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{4} y^{3} - 2 = x$ .

$\frac{1}{4} y^{3} - 2 = x$

Étape 2.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $y^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{4} - 2 = x$

Étape 2.3

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{3}}{4} = x + 2$

Étape 2.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $4$ .

$4 \frac{y^{3}}{4} = 4 (x + 2)$

Étape 2.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{y^{3}}{4} = 4 (x + 2)$

Étape 2.5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 4 (x + 2)$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez $4 (x + 2)$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 4 x + 4 \cdot 2$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$y^{3} = 4 x + 8$

Étape 2.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{4 x + 8}$

Étape 2.7

Factorisez $4$ à partir de $4 x + 8$ .

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Étape 2.7.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$y = \sqrt[3]{4 (x) + 8}$

Étape 2.7.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \sqrt[3]{4 x + 4 \cdot 2}$

Étape 2.7.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x + 4 \cdot 2$ .

$y = \sqrt[3]{4 (x + 2)}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 (x + 2)}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 (x + 2)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{4} x^{3} - 2$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{4 ((\frac{1}{4} x^{3} - 2) + 2)}$

Étape 4.2.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4} - 2 + 2)}$

Étape 4.2.4

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.2.4.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4} + 0)}$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $\frac{x^{3}}{4}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4})}$

Étape 4.2.5

Associez $4$ et $\frac{x^{3}}{4}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{\frac{4 x^{3}}{4}}$

Étape 4.2.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.6.1

Réduisez l’expression $\frac{4 x^{3}}{4}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{\frac{4 x^{3}}{4}}$

Étape 4.2.6.1.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

Étape 4.2.6.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Étape 4.2.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\sqrt[3]{4 (x + 2)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot {(\sqrt[3]{4 (x + 2)})}^{3} - 2$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{4 (x + 2)}}^{3}$ comme $4 (x + 2)$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4 (x + 2)}$ comme ${(4 (x + 2))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot {({(4 (x + 2))}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 2$

Étape 4.3.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot {(4 (x + 2))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 2$

Étape 4.3.3.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot {(4 (x + 2))}^{\frac{3}{3}} - 2$

Étape 4.3.3.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot {(4 (x + 2))}^{\frac{3}{3}} - 2$

Étape 4.3.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x + 2)) - 2$

Étape 4.3.3.1.5

Simplifiez

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x + 2)) - 2$

Étape 4.3.3.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x + 2)) - 2$

Étape 4.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = x + 2 - 2$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 2 - 2$ .

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Étape 4.3.4.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = x + 0$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 (x + 2)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{4} x^{3} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 (x + 2)}$