Algèbre Exemples

$y = 3 x^{5} - 4$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 3 y^{5} - 4$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $3 y^{5} - 4 = x$ .

$3 y^{5} - 4 = x$

Étape 2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y^{5} = x + 4$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $3 y^{5} = x + 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 y^{5} = x + 4$ par $3$ .

$\frac{3 y^{5}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{4}{3}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y^{5}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{4}{3}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $y^{5}$ par $1$ .

$y^{5} = \frac{x}{3} + \frac{4}{3}$

Étape 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[5]{\frac{x}{3} + \frac{4}{3}}$

Étape 2.5

Simplifiez $\sqrt[5]{\frac{x}{3} + \frac{4}{3}}$ .

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Étape 2.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[5]{\frac{x + 4}{3}}$

Étape 2.5.2

Réécrivez $\sqrt[5]{\frac{x + 4}{3}}$ comme $\frac{\sqrt[5]{x + 4}}{\sqrt[5]{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 4}}{\sqrt[5]{3}}$

Étape 2.5.3

Multipliez $\frac{\sqrt[5]{x + 4}}{\sqrt[5]{3}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{3}}^{4}}{{\sqrt[5]{3}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 4}}{\sqrt[5]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{3}}^{4}}{{\sqrt[5]{3}}^{4}}$

Étape 2.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt[5]{x + 4}}{\sqrt[5]{3}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{3}}^{4}}{{\sqrt[5]{3}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 4} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{3}}^{4}}$

Étape 2.5.4.2

Élevez $\sqrt[5]{3}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 4} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{{\sqrt[5]{3}}^{1} {\sqrt[5]{3}}^{4}}$

Étape 2.5.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 4} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{{\sqrt[5]{3}}^{1 + 4}}$

Étape 2.5.4.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 4} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{{\sqrt[5]{3}}^{5}}$

Étape 2.5.4.5

Réécrivez ${\sqrt[5]{3}}^{5}$ comme $3$ .

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Étape 2.5.4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{3}$ comme $3^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 4} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{{(3^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Étape 2.5.4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 4} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{3^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Étape 2.5.4.5.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 4} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{3^{\frac{5}{5}}}$

Étape 2.5.4.5.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.5.4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 4} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{3^{\frac{5}{5}}}$

Étape 2.5.4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 4} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{3^{1}}$

Étape 2.5.4.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 4} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{3}$

Étape 2.5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.5.1

Réécrivez ${\sqrt[5]{3}}^{4}$ comme $\sqrt[5]{3^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 4} \sqrt[5]{3^{4}}}{3}$

Étape 2.5.5.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 4} \sqrt[5]{81}}{3}$

Étape 2.5.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.5.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{\sqrt[5]{(x + 4) \cdot 81}}{3}$

Étape 2.5.6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[5]{(x + 4) \cdot 81}}{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3}$ est l’inverse de $f (x) = 3 x^{5} - 4$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (3 x^{5} - 4)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 x^{5} - 4) = \frac{\sqrt[5]{81 ((3 x^{5} - 4) + 4)}}{3}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$f^{- 1} (3 x^{5} - 4) = \frac{\sqrt[5]{81 (3 x^{5} + 0)}}{3}$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $3 x^{5}$ et $0$ .

$f^{- 1} (3 x^{5} - 4) = \frac{\sqrt[5]{81 \cdot (3 x^{5})}}{3}$

Étape 4.2.3.3

Multipliez $81$ par $3$ .

$f^{- 1} (3 x^{5} - 4) = \frac{\sqrt[5]{243 x^{5}}}{3}$

Étape 4.2.3.4

Réécrivez $243 x^{5}$ comme ${(3 x)}^{5}$ .

$f^{- 1} (3 x^{5} - 4) = \frac{\sqrt[5]{{(3 x)}^{5}}}{3}$

Étape 4.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (3 x^{5} - 4) = \frac{3 x}{3}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (3 x^{5} - 4) = \frac{3 x}{3}$

Étape 4.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (3 x^{5} - 4) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3}) = 3 {(\frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3})}^{5} - 4$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3}) = 3 (\frac{{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}^{5}}{3^{5}}) - 4$

Étape 4.3.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.3.2.1

Réécrivez ${\sqrt[5]{81 (x + 4)}}^{5}$ comme $81 (x + 4)$ .

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Étape 4.3.3.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{81 (x + 4)}$ comme ${(81 (x + 4))}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3}) = 3 (\frac{{({(81 (x + 4))}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{3^{5}}) - 4$

Étape 4.3.3.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3}) = 3 (\frac{{(81 (x + 4))}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{3^{5}}) - 4$

Étape 4.3.3.2.1.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3}) = 3 (\frac{{(81 (x + 4))}^{\frac{5}{5}}}{3^{5}}) - 4$

Étape 4.3.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.3.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3}) = 3 (\frac{{(81 (x + 4))}^{\frac{5}{5}}}{3^{5}}) - 4$

Étape 4.3.3.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3}) = 3 (\frac{81 (x + 4)}{3^{5}}) - 4$

Étape 4.3.3.2.1.5

Simplifiez

$f (\frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3}) = 3 (\frac{81 (x + 4)}{3^{5}}) - 4$

Étape 4.3.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3}) = 3 (\frac{81 x + 81 \cdot 4}{3^{5}}) - 4$

Étape 4.3.3.2.3

Multipliez $81$ par $4$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3}) = 3 (\frac{81 x + 324}{3^{5}}) - 4$

Étape 4.3.3.2.4

Factorisez $81$ à partir de $81 x + 324$ .

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Étape 4.3.3.2.4.1

Factorisez $81$ à partir de $81 x$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3}) = 3 (\frac{81 (x) + 324}{3^{5}}) - 4$

Étape 4.3.3.2.4.2

Factorisez $81$ à partir de $324$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3}) = 3 (\frac{81 x + 81 \cdot 4}{3^{5}}) - 4$

Étape 4.3.3.2.4.3

Factorisez $81$ à partir de $81 x + 81 \cdot 4$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3}) = 3 (\frac{81 (x + 4)}{3^{5}}) - 4$

Étape 4.3.3.3

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3}) = 3 (\frac{81 (x + 4)}{243}) - 4$

Étape 4.3.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $243$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3}) = 3 (\frac{81 (x + 4)}{3 (81)}) - 4$

Étape 4.3.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3}) = 3 (\frac{81 (x + 4)}{3 \cdot 81}) - 4$

Étape 4.3.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3}) = \frac{81 (x + 4)}{81} - 4$

Étape 4.3.3.5

Annulez le facteur commun de $81$ .

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Étape 4.3.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3}) = \frac{81 (x + 4)}{81} - 4$

Étape 4.3.3.5.2

Divisez $x + 4$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3}) = x + 4 - 4$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 4 - 4$ .

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Étape 4.3.4.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3}) = x + 0$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3}$ est l’inverse de $f (x) = 3 x^{5} - 4$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{81 (x + 4)}}{3}$