Algèbre Exemples

${(r - t)}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(r)}^{4 - k} \cdot {(- t)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} {(r)}^{4 - 0} \cdot {(- t)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} {(r)}^{4 - 1} \cdot {(- t)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} {(r)}^{4 - 2} \cdot {(- t)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} {(r)}^{4 - 3} \cdot {(- t)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} {(r)}^{4 - 4} \cdot {(- t)}^{4}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(r)}^{4} \cdot {(- t)}^{0} + 4 \cdot {(r)}^{3} \cdot {(- t)}^{1} + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(r)}^{4}$ par $1$ .

${(r)}^{4} \cdot {(- t)}^{0} + 4 \cdot {(r)}^{3} \cdot {(- t)}^{1} + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $- t$ .

$r^{4} \cdot ({(- 1)}^{0} t^{0}) + 4 \cdot {(r)}^{3} \cdot {(- t)}^{1} + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Étape 4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(- 1)}^{0} r^{4} t^{0} + 4 \cdot {(r)}^{3} \cdot {(- t)}^{1} + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Étape 4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 r^{4} t^{0} + 4 \cdot {(r)}^{3} \cdot {(- t)}^{1} + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Étape 4.5

Multipliez $r^{4}$ par $1$ .

$r^{4} t^{0} + 4 \cdot {(r)}^{3} \cdot {(- t)}^{1} + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Étape 4.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$r^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(r)}^{3} \cdot {(- t)}^{1} + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Étape 4.7

Multipliez $r^{4}$ par $1$ .

$r^{4} + 4 \cdot {(r)}^{3} \cdot {(- t)}^{1} + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Étape 4.8

Simplifiez

$r^{4} + 4 r^{3} \cdot (- t) + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Étape 4.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$r^{4} + 4 \cdot - 1 r^{3} t + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Étape 4.10

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Étape 4.11

Appliquez la règle de produit à $- t$ .

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 r^{2} \cdot ({(- 1)}^{2} t^{2}) + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Étape 4.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 \cdot {(- 1)}^{2} r^{2} t^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Étape 4.13

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 \cdot 1 r^{2} t^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Étape 4.14

Multipliez $6$ par $1$ .

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 r^{2} t^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Étape 4.15

Simplifiez

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 r^{2} t^{2} + 4 \cdot r \cdot {(- t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Étape 4.16

Appliquez la règle de produit à $- t$ .

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 r^{2} t^{2} + 4 r \cdot ({(- 1)}^{3} t^{3}) + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Étape 4.17

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 r^{2} t^{2} + 4 \cdot {(- 1)}^{3} r t^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Étape 4.18

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 r^{2} t^{2} + 4 \cdot - 1 r t^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Étape 4.19

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 r^{2} t^{2} - 4 r t^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Étape 4.20

Multipliez ${(r)}^{0}$ par $1$ .

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 r^{2} t^{2} - 4 r t^{3} + {(r)}^{0} \cdot {(- t)}^{4}$

Étape 4.21

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 r^{2} t^{2} - 4 r t^{3} + 1 \cdot {(- t)}^{4}$

Étape 4.22

Multipliez ${(- t)}^{4}$ par $1$ .

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 r^{2} t^{2} - 4 r t^{3} + {(- t)}^{4}$

Étape 4.23

Appliquez la règle de produit à $- t$ .

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 r^{2} t^{2} - 4 r t^{3} + {(- 1)}^{4} t^{4}$

Étape 4.24

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 r^{2} t^{2} - 4 r t^{3} + 1 t^{4}$

Étape 4.25

Multipliez $t^{4}$ par $1$ .

$r^{4} - 4 r^{3} t + 6 r^{2} t^{2} - 4 r t^{3} + t^{4}$