Algèbre Exemples

$y = \frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{5} \cdot e^{y + 2}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2} = x$ .

$\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2} = x$

Étape 2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $5$ .

$5 (\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2}) = 5 x$

Étape 2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1

Simplifiez $5 (\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2})$ .

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Étape 2.3.1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $e^{y + 2}$ .

$5 \frac{e^{y + 2}}{5} = 5 x$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{e^{y + 2}}{5} = 5 x$

Étape 2.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{y + 2} = 5 x$

Étape 2.4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y + 2}) = \ln (5 x)$

Étape 2.5

Développez le côté gauche.

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Étape 2.5.1

Développez $\ln (e^{y + 2})$ en déplaçant $y + 2$ hors du logarithme.

$(y + 2) \ln (e) = \ln (5 x)$

Étape 2.5.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(y + 2) \cdot 1 = \ln (5 x)$

Étape 2.5.3

Multipliez $y + 2$ par $1$ .

$y + 2 = \ln (5 x)$

Étape 2.6

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y = \ln (5 x) - 2$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (5 (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2})) - 2$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $e^{x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (5 (\frac{e^{x + 2}}{5})) - 2$

Étape 4.2.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (5 (\frac{e^{x + 2}}{5})) - 2$

Étape 4.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (e^{x + 2}) - 2$

Étape 4.2.3.3

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x + 2$ de l’exposant.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = (x + 2) \ln (e) - 2$

Étape 4.2.3.4

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = (x + 2) \cdot 1 - 2$

Étape 4.2.3.5

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = x + 2 - 2$

Étape 4.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 2 - 2$ .

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Étape 4.2.4.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = x + 0$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\ln (5 x) - 2)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot e^{(\ln (5 x) - 2) + 2}$

Étape 4.3.3

Associez les termes opposés dans $(\ln (5 x) - 2) + 2$ .

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Étape 4.3.3.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot e^{\ln (5 x) + 0}$

Étape 4.3.3.2

Additionnez $\ln (5 x)$ et $0$ .

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot e^{\ln (5 x)}$

Étape 4.3.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

Étape 4.3.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.3.5.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 (x))$

Étape 4.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

Étape 4.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\ln (5 x) - 2) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$