Algèbre Exemples

$y = 2 x + \frac{5}{2}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 2 y + \frac{5}{2}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $2 y + \frac{5}{2} = x$ .

$2 y + \frac{5}{2} = x$

Étape 2.2

Soustrayez $\frac{5}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = x - \frac{5}{2}$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $2 y = x - \frac{5}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y = x - \frac{5}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{5}{2}}{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{5}{2}}{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{5}{2}}{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{x}{2} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.3.3.1.2

Multipliez $- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.3.3.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{5}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{5}{4}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{5}{4}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{5}{4}$ est l’inverse de $f (x) = 2 x + \frac{5}{2}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2}) = \frac{2 x + \frac{5}{2}}{2} - \frac{5}{4}$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1.1

Pour écrire $2 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2}) = \frac{2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}}{2} - \frac{5}{4}$

Étape 4.2.3.1.2

Associez $2 x$ et $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2}) = \frac{\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}}{2} - \frac{5}{4}$

Étape 4.2.3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2}) = \frac{\frac{2 x \cdot 2 + 5}{2}}{2} - \frac{5}{4}$

Étape 4.2.3.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2}) = \frac{\frac{4 x + 5}{2}}{2} - \frac{5}{4}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2}) = \frac{4 x + 5}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{5}{4}$

Étape 4.2.3.3

Multipliez $\frac{4 x + 5}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.2.3.3.1

Multipliez $\frac{4 x + 5}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2}) = \frac{4 x + 5}{2 \cdot 2} - \frac{5}{4}$

Étape 4.2.3.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2}) = \frac{4 x + 5}{4} - \frac{5}{4}$

Étape 4.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2}) = \frac{4 x + 5 - 5}{4}$

Étape 4.2.4.2

Associez les termes opposés dans $4 x + 5 - 5$ .

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Étape 4.2.4.2.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Étape 4.2.4.2.2

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2}) = \frac{4 x}{4}$

Étape 4.2.4.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2}) = \frac{4 x}{4}$

Étape 4.2.4.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{5}{2}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{x}{2} - \frac{5}{4})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{5}{4}) = 2 (\frac{x}{2} - \frac{5}{4}) + \frac{5}{2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x}{2} - \frac{5}{4}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (- \frac{5}{4}) + \frac{5}{2}$

Étape 4.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x}{2} - \frac{5}{4}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (- \frac{5}{4}) + \frac{5}{2}$

Étape 4.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x}{2} - \frac{5}{4}) = x + 2 (- \frac{5}{4}) + \frac{5}{2}$

Étape 4.3.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{4}$ dans le numérateur.

$f (\frac{x}{2} - \frac{5}{4}) = x + 2 (\frac{- 5}{4}) + \frac{5}{2}$

Étape 4.3.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{5}{4}) = x + 2 (\frac{- 5}{2 (2)}) + \frac{5}{2}$

Étape 4.3.3.3.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x}{2} - \frac{5}{4}) = x + 2 (\frac{- 5}{2 \cdot 2}) + \frac{5}{2}$

Étape 4.3.3.3.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x}{2} - \frac{5}{4}) = x + \frac{- 5}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 4.3.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{x}{2} - \frac{5}{4}) = x - \frac{5}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $x - \frac{5}{2} + \frac{5}{2}$ .

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Étape 4.3.4.1

Additionnez $- \frac{5}{2}$ et $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{5}{4}) = x + 0$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{5}{4}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{5}{4}$ est l’inverse de $f (x) = 2 x + \frac{5}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{5}{4}$