Algèbre Exemples

$\frac{- 2 + 4 i}{6 + 3 i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{- 2 + 4 i}{6 + 3 i}$ par le conjugué de $6 + 3 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{- 2 + 4 i}{6 + 3 i} \cdot \frac{6 - 3 i}{6 - 3 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(- 2 + 4 i) (6 - 3 i)}{(6 + 3 i) (6 - 3 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(- 2 + 4 i) (6 - 3 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 (6 - 3 i) + 4 i (6 - 3 i)}{(6 + 3 i) (6 - 3 i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 \cdot 6 - 2 (- 3 i) + 4 i (6 - 3 i)}{(6 + 3 i) (6 - 3 i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 \cdot 6 - 2 (- 3 i) + 4 i \cdot 6 + 4 i (- 3 i)}{(6 + 3 i) (6 - 3 i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $6$ .

$\frac{- 12 - 2 (- 3 i) + 4 i \cdot 6 + 4 i (- 3 i)}{(6 + 3 i) (6 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$\frac{- 12 + 6 i + 4 i \cdot 6 + 4 i (- 3 i)}{(6 + 3 i) (6 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $6$ par $4$ .

$\frac{- 12 + 6 i + 24 i + 4 i (- 3 i)}{(6 + 3 i) (6 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $4 i (- 3 i)$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{- 12 + 6 i + 24 i - 12 i i}{(6 + 3 i) (6 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 12 + 6 i + 24 i - 12 (i^{1} i)}{(6 + 3 i) (6 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 12 + 6 i + 24 i - 12 (i^{1} i^{1})}{(6 + 3 i) (6 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 12 + 6 i + 24 i - 12 i^{1 + 1}}{(6 + 3 i) (6 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 12 + 6 i + 24 i - 12 i^{2}}{(6 + 3 i) (6 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 12 + 6 i + 24 i - 12 \cdot - 1}{(6 + 3 i) (6 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$\frac{- 12 + 6 i + 24 i + 12}{(6 + 3 i) (6 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $- 12$ et $12$ .

$\frac{0 + 6 i + 24 i}{(6 + 3 i) (6 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $0$ et $6 i$ .

$\frac{6 i + 24 i}{(6 + 3 i) (6 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.4

Additionnez $6 i$ et $24 i$ .

$\frac{30 i}{(6 + 3 i) (6 - 3 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(6 + 3 i) (6 - 3 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{30 i}{6 (6 - 3 i) + 3 i (6 - 3 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{30 i}{6 \cdot 6 + 6 (- 3 i) + 3 i (6 - 3 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{30 i}{6 \cdot 6 + 6 (- 3 i) + 3 i \cdot 6 + 3 i (- 3 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{30 i}{36 + 6 (- 3 i) + 3 i \cdot 6 + 3 i (- 3 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 3$ par $6$ .

$\frac{30 i}{36 - 18 i + 3 i \cdot 6 + 3 i (- 3 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $6$ par $3$ .

$\frac{30 i}{36 - 18 i + 18 i + 3 i (- 3 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{30 i}{36 - 18 i + 18 i - 9 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{30 i}{36 - 18 i + 18 i - 9 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{30 i}{36 - 18 i + 18 i - 9 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{30 i}{36 - 18 i + 18 i - 9 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{30 i}{36 - 18 i + 18 i - 9 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Additionnez $- 18 i$ et $18 i$ .

$\frac{30 i}{36 + 0 - 9 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $36$ et $0$ .

$\frac{30 i}{36 - 9 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{30 i}{36 - 9 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$\frac{30 i}{36 + 9}$

Étape 2.3.4

Additionnez $36$ et $9$ .

$\frac{30 i}{45}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $30$ et $45$ .

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Étape 3.1

Factorisez $15$ à partir de $30 i$ .

$\frac{15 (2 i)}{45}$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Factorisez $15$ à partir de $45$ .

$\frac{15 (2 i)}{15 (3)}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 (2 i)}{15 \cdot 3}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 i}{3}$