Algèbre Exemples

$9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} + 24 y - 36 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Ajoutez $36$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} + 24 y = 36$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $9 x^{2} - 36 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 36$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 18}{9}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 18$ et $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $- 18$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$d = - 2$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 36$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $1296$ par $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$e = 0 - 36$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $36$ de $0$ .

$e = - 36$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

Étape 1.3

Remplacez $9 x^{2} - 36 x$ par $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ dans l’équation $9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} + 24 y = 36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36 - 4 y^{2} + 24 y = 36$

Étape 1.4

Déplacez $- 36$ du côté droit de l’équation en ajoutant $36$ des deux côtés.

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 y^{2} + 24 y = 36 + 36$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $- 4 y^{2} + 24 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 4$

$b = 24$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{24}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $24$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 (- 4)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{12}{- 4}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $12$ et $- 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$d = \frac{4 (3)}{- 4}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Étape 1.5.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$d = - 3$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{24^{2}}{4 \cdot - 4}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $24$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot - 4}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$e = 0 - \frac{576}{- 16}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $576$ par $- 16$ .

$e = 0 - - 36$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 36$ .

$e = 0 + 36$

Étape 1.5.4.2.2

Additionnez $0$ et $36$ .

$e = 36$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 4 {(y - 3)}^{2} + 36$ .

$- 4 {(y - 3)}^{2} + 36$

Étape 1.6

Remplacez $- 4 y^{2} + 24 y$ par $- 4 {(y - 3)}^{2} + 36$ dans l’équation $9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} + 24 y = 36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 3)}^{2} + 36 = 36 + 36$

Étape 1.7

Déplacez $36$ du côté droit de l’équation en ajoutant $36$ des deux côtés.

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 3)}^{2} = 36 + 36 - 36$

Étape 1.8

Simplifiez $36 + 36 - 36$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $36$ et $36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 3)}^{2} = 72 - 36$

Étape 1.8.2

Soustrayez $36$ de $72$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 3)}^{2} = 36$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $36$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{36} - \frac{4 {(y - 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{9} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 2$

$b = 3$

$k = 3$

$h = 2$

Étape 4

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) + 3$

Étape 5

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 5.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) + 3$

Étape 5.2

Simplifiez $\frac{3}{2} \cdot (x - (2)) + 3$ .

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - 2) + 3$

Étape 5.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Étape 5.2.1.3

Associez $\frac{3}{2}$ et $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Étape 5.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 (- 1)) + 3$

Étape 5.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 3$

Étape 5.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{3 x}{2} + 3 \cdot - 1 + 3$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{2} - 3 + 3$

Étape 5.2.2

Associez les termes opposés dans $\frac{3 x}{2} - 3 + 3$ .

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$y = \frac{3 x}{2} + 0$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $\frac{3 x}{2}$ et $0$ .

$y = \frac{3 x}{2}$

Étape 6

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 6.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) + 3$

Étape 6.2

Simplifiez $- \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) + 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 2) + 3$

Étape 6.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Étape 6.2.1.3

Associez $x$ et $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Étape 6.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot - 2 + 3$

Étape 6.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 1)) + 3$

Étape 6.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 3$

Étape 6.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 1 + 3$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 3 + 3$

Étape 6.2.1.6

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 3 + 3$

Étape 6.2.2

Additionnez $3$ et $3$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 6$

Étape 7

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{3 x}{2}, y = - \frac{3 x}{2} + 6$

Étape 8

Les asymptotes sont $y = \frac{3 x}{2}$ et $y = - \frac{3 x}{2} + 6$ .

Asymptotes : $y = \frac{3 x}{2}, y = - \frac{3 x}{2} + 6$

Étape 9