Algèbre Exemples

$y = 2 \sqrt[5]{x}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 2 \sqrt[5]{y}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $2 \sqrt[5]{y} = x$ .

$2 \sqrt[5]{y} = x$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $2 \sqrt[5]{y} = x$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sqrt[5]{y} = x$ par $2$ .

$\frac{2 \sqrt[5]{y}}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt[5]{y}}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $\sqrt[5]{y}$ par $1$ .

$\sqrt[5]{y} = \frac{x}{2}$

Étape 2.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $5$ .

${\sqrt[5]{y}}^{5} = {(\frac{x}{2})}^{5}$

Étape 2.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{y}$ comme $y^{\frac{1}{5}}$ .

${(y^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(\frac{x}{2})}^{5}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{2})}^{5}$

Étape 2.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{2})}^{5}$

Étape 2.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(\frac{x}{2})}^{5}$

Étape 2.4.2.1.2

Simplifiez

$y = {(\frac{x}{2})}^{5}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Simplifiez ${(\frac{x}{2})}^{5}$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{2}$ .

$y = \frac{x^{5}}{2^{5}}$

Étape 2.4.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$y = \frac{x^{5}}{32}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{32}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{32}$ est l’inverse de $f (x) = 2 \sqrt[5]{x}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{{(2 \sqrt[5]{x})}^{5}}{32}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{2^{5} {\sqrt[5]{x}}^{5}}{32}$

Étape 4.2.3.2

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 {\sqrt[5]{x}}^{5}}{32}$

Étape 4.2.3.3

Réécrivez ${\sqrt[5]{x}}^{5}$ comme $x$ .

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Étape 4.2.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{x}$ comme $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}}{32}$

Étape 4.2.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{32}$

Étape 4.2.3.3.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x^{\frac{5}{5}}}{32}$

Étape 4.2.3.3.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.2.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x^{\frac{5}{5}}}{32}$

Étape 4.2.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x}{32}$

Étape 4.2.3.3.5

Simplifiez

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x}{32}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $32$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x}{32}$

Étape 4.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{5}}{32})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{32}}$

Étape 4.3.3

Supprimez les parenthèses.

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{32}}$

Étape 4.3.4

Réécrivez $32$ comme $2^{5}$ .

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{2^{5}}}$

Étape 4.3.5

Réécrivez $\frac{x^{5}}{2^{5}}$ comme ${(\frac{x}{2})}^{5}$ .

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 \sqrt[5]{{(\frac{x}{2})}^{5}}$

Étape 4.3.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 4.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 4.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{5}}{32}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{32}$ est l’inverse de $f (x) = 2 \sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{32}$