Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{2 x - 3}{5}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{2 x - 3}{5}$ comme une équation.

$y = \frac{2 x - 3}{5}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{2 y - 3}{5}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{2 y - 3}{5} = x$ .

$\frac{2 y - 3}{5} = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés par $5$ .

$\frac{2 y - 3}{5} \cdot 5 = x \cdot 5$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y - 3}{5} \cdot 5 = x \cdot 5$

Étape 3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 y - 3 = x \cdot 5$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$2 y - 3 = 5 x$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y = 5 x + 3$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $2 y = 5 x + 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y = 5 x + 3$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2 x - 3}{5}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{2 x - 3}{5})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 3}{5}) = \frac{5 (\frac{2 x - 3}{5})}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 3}{5}) = \frac{5 (\frac{2 x - 3}{5}) + 3}{2}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 3}{5}) = \frac{5 (\frac{2 x - 3}{5}) + 3}{2}$

Étape 5.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 3}{5}) = \frac{2 x - 3 + 3}{2}$

Étape 5.2.5

Associez les termes opposés dans $2 x - 3 + 3$ .

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Étape 5.2.5.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 3}{5}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 3}{5}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x - 3}{5}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.6.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x - 3}{5}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{5 x}{2} + \frac{3}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{2 (\frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}) - 3}{5}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{2 (\frac{5 x}{2}) + 2 (\frac{3}{2}) - 3}{5}$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{2 (\frac{5 x}{2}) + 2 (\frac{3}{2}) - 3}{5}$

Étape 5.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{5 x + 2 (\frac{3}{2}) - 3}{5}$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{5 x + 2 (\frac{3}{2}) - 3}{5}$

Étape 5.3.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{5 x + 3 - 3}{5}$

Étape 5.3.3.4

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (\frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{5 x + 0}{5}$

Étape 5.3.3.5

Additionnez $5 x$ et $0$ .

$f (\frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{5 x}{5}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{5 x}{5}$

Étape 5.3.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2 x - 3}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{2} + \frac{3}{2}$