Algèbre Exemples

${(x - 2)}^{2} = - 12 (y - 2)$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Réécrivez l’équation comme $- 12 (y - 2) = {(x - 2)}^{2}$ .

$- 12 (y - 2) = {(x - 2)}^{2}$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $- 12 (y - 2) = {(x - 2)}^{2}$ par $- 12$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 12 (y - 2) = {(x - 2)}^{2}$ par $- 12$ .

$\frac{- 12 (y - 2)}{- 12} = \frac{{(x - 2)}^{2}}{- 12}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 12$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 12 (y - 2)}{- 12} = \frac{{(x - 2)}^{2}}{- 12}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $y - 2$ par $1$ .

$y - 2 = \frac{{(x - 2)}^{2}}{- 12}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 2 = - \frac{{(x - 2)}^{2}}{12}$

Étape 1.1.3

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{{(x - 2)}^{2}}{12} + 2$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - \frac{1}{12} \cdot {(x - 2)}^{2} + 2$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- \frac{1}{12} \cdot {(x - 2)}^{2} + 2$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$- \frac{1}{12} \cdot ((x - 2) (x - 2)) + 2$

Étape 1.2.1.1.2

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{12} \cdot (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + 2$

Étape 1.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + 2$

Étape 1.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 2$

Étape 1.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 2$

Étape 1.2.1.1.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + 2$

Étape 1.2.1.1.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + 2$

Étape 1.2.1.1.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} - 4 x + 4) + 2$

Étape 1.2.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{12} x^{2} - \frac{1}{12} (- 4 x) - \frac{1}{12} \cdot 4 + 2$

Étape 1.2.1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.2.1.1.5.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{12}$ .

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{1}{12} (- 4 x) - \frac{1}{12} \cdot 4 + 2$

Étape 1.2.1.1.5.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.1.1.5.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{12}$ dans le numérateur.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{12} (- 4 x) - \frac{1}{12} \cdot 4 + 2$

Étape 1.2.1.1.5.2.2

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{4 (3)} (- 4 x) - \frac{1}{12} \cdot 4 + 2$

Étape 1.2.1.1.5.2.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{4 (3)} (4 (- x)) - \frac{1}{12} \cdot 4 + 2$

Étape 1.2.1.1.5.2.4

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{4 \cdot 3} (4 (- x)) - \frac{1}{12} \cdot 4 + 2$

Étape 1.2.1.1.5.2.5

Réécrivez l’expression.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{3} (- x) - \frac{1}{12} \cdot 4 + 2$

Étape 1.2.1.1.5.3

Associez $\frac{- 1}{3}$ et $x$ .

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{- x}{3} - \frac{1}{12} \cdot 4 + 2$

Étape 1.2.1.1.5.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.1.1.5.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{12}$ dans le numérateur.

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{- x}{3} + \frac{- 1}{12} \cdot 4 + 2$

Étape 1.2.1.1.5.4.2

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{- x}{3} + \frac{- 1}{4 (3)} \cdot 4 + 2$

Étape 1.2.1.1.5.4.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{- x}{3} + \frac{- 1}{4 \cdot 3} \cdot 4 + 2$

Étape 1.2.1.1.5.4.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{- x}{3} + \frac{- 1}{3} + 2$

Étape 1.2.1.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2}}{12} - - \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3} + 2$

Étape 1.2.1.1.6.2

Multipliez $- - \frac{x}{3}$ .

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Étape 1.2.1.1.6.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + 1 \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3} + 2$

Étape 1.2.1.1.6.2.2

Multipliez $\frac{x}{3}$ par $1$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3} + 2$

Étape 1.2.1.1.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + 2$

Étape 1.2.1.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 1.2.1.3

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Étape 1.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} + \frac{- 1 + 2 \cdot 3}{3}$

Étape 1.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} + \frac{- 1 + 6}{3}$

Étape 1.2.1.5.2

Additionnez $- 1$ et $6$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

Étape 1.2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{12}$

$b = \frac{1}{3}$

$c = \frac{5}{3}$

Étape 1.2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{1}{3}}{2 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.4.2.2

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = \frac{1}{3} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{12})})$

Étape 1.2.4.2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{12}$ .

$d = \frac{1}{3} (- \frac{1}{\frac{2}{12}})$

Étape 1.2.4.2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $12$ .

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Étape 1.2.4.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = \frac{1}{3} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}})$

Étape 1.2.4.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$d = \frac{1}{3} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}})$

Étape 1.2.4.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{1}{3} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}})$

Étape 1.2.4.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{1}{3} (- \frac{1}{\frac{1}{6}})$

Étape 1.2.4.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{1}{3} (- (1 \cdot 6))$

Étape 1.2.4.2.6

Multipliez $- (1 \cdot 6)$ .

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Étape 1.2.4.2.6.1

Multipliez $6$ par $1$ .

$d = \frac{1}{3} (- 1 \cdot 6)$

Étape 1.2.4.2.6.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$d = \frac{1}{3} \cdot - 6$

Étape 1.2.4.2.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.4.2.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$d = \frac{1}{3} \cdot (3 (- 2))$

Étape 1.2.4.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 2)$

Étape 1.2.4.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$d = - 2$

Étape 1.2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{5}{3} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$e = \frac{5}{3} - \frac{\frac{1^{2}}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e = \frac{5}{3} - \frac{\frac{1}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{5}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.5.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = \frac{5}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{- 4 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{12}$ .

$e = \frac{5}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{- 4}{12}}$

Étape 1.2.5.2.1.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.2.5.2.1.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $12$ .

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Étape 1.2.5.2.1.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$e = \frac{5}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4 (- 1)}{12}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.5.2.1.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$e = \frac{5}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{5}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{5}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{- 1}{3}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = \frac{5}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{- \frac{1}{3}}$

Étape 1.2.5.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = \frac{5}{3} - (\frac{1}{9} (- 1 \cdot 3))$

Étape 1.2.5.2.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.5.2.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$e = \frac{5}{3} - (\frac{1}{3 (3)} (- 1 \cdot 3))$

Étape 1.2.5.2.1.5.2

Factorisez $3$ à partir de $- 1 \cdot 3$ .

$e = \frac{5}{3} - (\frac{1}{3 (3)} (3 \cdot - 1))$

Étape 1.2.5.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{5}{3} - (\frac{1}{3 \cdot 3} (3 \cdot - 1))$

Étape 1.2.5.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{5}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 1)$

Étape 1.2.5.2.1.6

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$e = \frac{5}{3} - \frac{- 1}{3}$

Étape 1.2.5.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = \frac{5}{3} - - \frac{1}{3}$

Étape 1.2.5.2.1.8

Multipliez $- - \frac{1}{3}$ .

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Étape 1.2.5.2.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = \frac{5}{3} + 1 (\frac{1}{3})$

Étape 1.2.5.2.1.8.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$e = \frac{5}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 1.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{5 + 1}{3}$

Étape 1.2.5.2.3

Additionnez $5$ et $1$ .

$e = \frac{6}{3}$

Étape 1.2.5.2.4

Divisez $6$ par $3$ .

$e = 2$

Étape 1.2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{12} {(x - 2)}^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{12} {(x - 2)}^{2} + 2$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - \frac{1}{12} \cdot {(x - 2)}^{2} + 2$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{12}$

$h = 2$

$k = 2$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(2, 2)$

Étape 4