Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1} \div (2 x^{2} + 2 x)$

Étape 1

Réécrivez la division comme une fraction.

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1}}{2 x^{2} + 2 x}$

Étape 2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Étape 3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{x^{2} - 1} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Étape 3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 3.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{x^{2} - 1} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Étape 3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à ${(x + 1)}^{2}$ et $x + 1$ .

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Étape 5.1

Factorisez $x + 1$ à partir de ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Étape 5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Étape 6

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{2} + 2 x$ .

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Étape 6.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1}{2 x (x) + 2 x}$

Étape 6.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1}{2 x (x) + 2 x (1)}$

Étape 6.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x) + 2 x (1)$ .

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1}{2 x (x + 1)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $2 x (x + 1)$ .

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1}{(x + 1) (2 x)}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1}{(x + 1) (2 x)}$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{2 x}$

Étape 8

Multipliez $\frac{1}{x - 1}$ par $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{1}{(x - 1) (2 x)}$

Étape 9

Déplacez $2$ à gauche de $x - 1$ .

$\frac{1}{2 \cdot (x - 1) x}$

Étape 10

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{1}{2 (x - 1) x}$ .

$\frac{1}{2 x (x - 1)}$