Algèbre Exemples

$\frac{(2 + 3 i) (4 - 7 i)}{(1 - i)}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{(2 + 3 i) (4 - 7 i)}{1 - i}$ par le conjugué de $1 - i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{(2 + 3 i) (4 - 7 i)}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(2 + 3 i) (4 - 7 i) (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(2 + 3 i) (4 - 7 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 (4 - 7 i) + 3 i (4 - 7 i)) (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 \cdot 4 + 2 (- 7 i) + 3 i (4 - 7 i)) (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 \cdot 4 + 2 (- 7 i) + 3 i \cdot 4 + 3 i (- 7 i)) (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{(8 + 2 (- 7 i) + 3 i \cdot 4 + 3 i (- 7 i)) (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$\frac{(8 - 14 i + 3 i \cdot 4 + 3 i (- 7 i)) (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{(8 - 14 i + 12 i + 3 i (- 7 i)) (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $3 i (- 7 i)$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Multipliez $- 7$ par $3$ .

$\frac{(8 - 14 i + 12 i - 21 i i) (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{(8 - 14 i + 12 i - 21 (i^{1} i)) (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{(8 - 14 i + 12 i - 21 (i^{1} i^{1})) (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(8 - 14 i + 12 i - 21 i^{1 + 1}) (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(8 - 14 i + 12 i - 21 i^{2}) (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{(8 - 14 i + 12 i - 21 \cdot - 1) (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $- 21$ par $- 1$ .

$\frac{(8 - 14 i + 12 i + 21) (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $8$ et $21$ .

$\frac{(29 - 14 i + 12 i) (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $- 14 i$ et $12 i$ .

$\frac{(29 - 2 i) (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.3

Développez $(29 - 2 i) (1 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{29 (1 + i) - 2 i (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{29 \cdot 1 + 29 i - 2 i (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{29 \cdot 1 + 29 i - 2 i \cdot 1 - 2 i i}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1.1

Multipliez $29$ par $1$ .

$\frac{29 + 29 i - 2 i \cdot 1 - 2 i i}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.4.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{29 + 29 i - 2 i - 2 i i}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.4.1.3

Multipliez $- 2 i i$ .

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Étape 2.2.4.1.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{29 + 29 i - 2 i - 2 (i^{1} i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.4.1.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{29 + 29 i - 2 i - 2 (i^{1} i^{1})}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.4.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{29 + 29 i - 2 i - 2 i^{1 + 1}}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.4.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{29 + 29 i - 2 i - 2 i^{2}}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.4.1.4

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{29 + 29 i - 2 i - 2 \cdot - 1}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.4.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{29 + 29 i - 2 i + 2}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.4.2

Additionnez $29$ et $2$ .

$\frac{31 + 29 i - 2 i}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.2.4.3

Soustrayez $2 i$ de $29 i$ .

$\frac{31 + 27 i}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(1 - i) (1 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{31 + 27 i}{1 (1 + i) - i (1 + i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{31 + 27 i}{1 \cdot 1 + 1 i - i (1 + i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{31 + 27 i}{1 \cdot 1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{31 + 27 i}{1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{31 + 27 i}{1 + 1 i - i - i i}$

Étape 2.3.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{31 + 27 i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{31 + 27 i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{31 + 27 i}{1 + 1 i - i - i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{31 + 27 i}{1 + 1 i - i - i^{2}}$

Étape 2.3.2.7

Soustrayez $i$ de $1 i$ .

$\frac{31 + 27 i}{1 + 0 - i^{2}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{31 + 27 i}{1 - i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{31 + 27 i}{1 - - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{31 + 27 i}{1 + 1}$

Étape 2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{31 + 27 i}{2}$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{31 + 27 i}{2}$ en deux fractions.

$\frac{31}{2} + \frac{27 i}{2}$