Algèbre Exemples

$5 y^{2} - 4 x^{2} = 20$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme par $20$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{5 y^{2}}{20} - \frac{4 x^{2}}{20} = \frac{20}{20}$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{5} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 2$

$b = \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 4.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 4.3.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 4.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{4 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{4 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{4 + 5^{1}}$

Étape 4.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{4 + 5}$

Étape 4.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.3.1

Additionnez $4$ et $5$ .

$\sqrt{9}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}}$

Étape 4.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$3$

Étape 5

Déterminez les foyers.

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Étape 5.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(0, 3)$

Étape 5.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 5.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(0, - 3)$

Étape 5.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(0, 3), (0, - 3)$

Étape 6