Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{3}{5} x + 6$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{3}{5} x + 6$ comme une équation.

$y = \frac{3}{5} x + 6$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{3}{5} y + 6$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{3}{5} y + 6 = x$ .

$\frac{3}{5} y + 6 = x$

Étape 3.2

Associez $\frac{3}{5}$ et $y$ .

$\frac{3 y}{5} + 6 = x$

Étape 3.3

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{3 y}{5} = x - 6$

Étape 3.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{5}{3}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 y}{5} = \frac{5}{3} (x - 6)$

Étape 3.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1.1

Simplifiez $\frac{5}{3} \cdot \frac{3 y}{5}$ .

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Étape 3.5.1.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.5.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 y}{5} = \frac{5}{3} (x - 6)$

Étape 3.5.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{5}{3} (x - 6)$

Étape 3.5.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y$ .

$\frac{1}{3} (3 (y)) = \frac{5}{3} (x - 6)$

Étape 3.5.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{5}{3} (x - 6)$

Étape 3.5.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{5}{3} (x - 6)$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez $\frac{5}{3} (x - 6)$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{5}{3} x + \frac{5}{3} \cdot - 6$

Étape 3.5.2.1.2

Associez $\frac{5}{3}$ et $x$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot - 6$

Étape 3.5.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.2.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot (3 (- 2))$

Étape 3.5.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot (3 \cdot - 2)$

Étape 3.5.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{5 x}{3} + 5 \cdot - 2$

Étape 3.5.2.1.4

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$y = \frac{5 x}{3} - 10$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - 10$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - 10$ est l’inverse de $f (x) = \frac{3}{5} x + 6$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{5 (\frac{3}{5} x + 6)}{3} - 10$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Associez $\frac{3}{5}$ et $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{5 (\frac{3 x}{5} + 6)}{3} - 10$

Étape 5.2.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $\frac{3 x}{5} + 6$ .

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Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $\frac{3 x}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{5 (3 (\frac{x}{5}) + 6)}{3} - 10$

Étape 5.2.3.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{5 (3 (\frac{x}{5}) + 3 \cdot 2)}{3} - 10$

Étape 5.2.3.1.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 \frac{x}{5} + 3 \cdot 2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{5 (3 (\frac{x}{5} + 2))}{3} - 10$

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{5 \cdot (3 (\frac{x}{5} + 2))}{3} - 10$

Étape 5.2.3.1.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{15 (\frac{x}{5} + 2)}{3} - 10$

Étape 5.2.3.1.4

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{15 (\frac{x}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})}{3} - 10$

Étape 5.2.3.1.5

Associez $2$ et $\frac{5}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{15 (\frac{x}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})}{3} - 10$

Étape 5.2.3.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{15 (\frac{x + 2 \cdot 5}{5})}{3} - 10$

Étape 5.2.3.1.7

Multipliez $2$ par $5$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{15 (\frac{x + 10}{5})}{3} - 10$

Étape 5.2.3.2

Associez $15$ et $\frac{x + 10}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{\frac{15 (x + 10)}{5}}{3} - 10$

Étape 5.2.3.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.3.1

Réduisez l’expression $\frac{15 (x + 10)}{5}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $15 (x + 10)$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{\frac{5 (3 (x + 10))}{5}}{3} - 10$

Étape 5.2.3.3.1.2

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{\frac{5 (3 (x + 10))}{5 (1)}}{3} - 10$

Étape 5.2.3.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{\frac{5 (3 (x + 10))}{5 \cdot 1}}{3} - 10$

Étape 5.2.3.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{\frac{3 (x + 10)}{1}}{3} - 10$

Étape 5.2.3.3.2

Divisez $3 (x + 10)$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{3 (x + 10)}{3} - 10$

Étape 5.2.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{3 (x + 10)}{3} - 10$

Étape 5.2.3.4.2

Divisez $x + 10$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = x + 10 - 10$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 10 - 10$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $10$ de $10$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{5 x}{3} - 10)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{5 x}{3} - 10) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{5 x}{3} - 10) + 6$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5 x}{3} - 10) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5 x}{3} + \frac{3}{5} \cdot - 10 + 6$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{3} - 10) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5 x}{3} + \frac{3}{5} \cdot - 10 + 6$

Étape 5.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x}{3} - 10) = \frac{1}{5} \cdot (5 x) + \frac{3}{5} \cdot - 10 + 6$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$f (\frac{5 x}{3} - 10) = \frac{1}{5} \cdot (5 (x)) + \frac{3}{5} \cdot - 10 + 6$

Étape 5.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{3} - 10) = \frac{1}{5} \cdot (5 x) + \frac{3}{5} \cdot - 10 + 6$

Étape 5.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x}{3} - 10) = x + \frac{3}{5} \cdot - 10 + 6$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Factorisez $5$ à partir de $- 10$ .

$f (\frac{5 x}{3} - 10) = x + \frac{3}{5} \cdot (5 (- 2)) + 6$

Étape 5.3.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{3} - 10) = x + \frac{3}{5} \cdot (5 \cdot - 2) + 6$

Étape 5.3.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x}{3} - 10) = x + 3 \cdot - 2 + 6$

Étape 5.3.3.5

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$f (\frac{5 x}{3} - 10) = x - 6 + 6$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 6 + 6$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$f (\frac{5 x}{3} - 10) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{5 x}{3} - 10) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - 10$ est l’inverse de $f (x) = \frac{3}{5} x + 6$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - 10$