Algèbre Exemples

$y = 2^{3 x - 1}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 2^{3 y - 1}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $2^{3 y - 1} = x$ .

$2^{3 y - 1} = x$

Étape 2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{3 y - 1}) = \ln (x)$

Étape 2.3

Développez $\ln (2^{3 y - 1})$ en déplaçant $3 y - 1$ hors du logarithme.

$(3 y - 1) \ln (2) = \ln (x)$

Étape 2.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.1

Simplifiez $(3 y - 1) \ln (2)$ .

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Étape 2.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 y \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (x)$

Étape 2.4.1.2

Réécrivez $- 1 \ln (2)$ comme $- \ln (2)$ .

$3 y \ln (2) - \ln (2) = \ln (x)$

Étape 2.5

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$3 y \ln (2) - \ln (2) - \ln (x) = 0$

Étape 2.6

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.6.1

Ajoutez $\ln (2)$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y \ln (2) - \ln (x) = \ln (2)$

Étape 2.6.2

Ajoutez $\ln (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x)$

Étape 2.7

Divisez chaque terme dans $3 y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x)$ par $3 \ln (2)$ et simplifiez.

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Étape 2.7.1

Divisez chaque terme dans $3 y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x)$ par $3 \ln (2)$ .

$\frac{3 y \ln (2)}{3 \ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Étape 2.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.7.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y \ln (2)}{3 \ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Étape 2.7.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Étape 2.7.2.2

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 2.7.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Étape 2.7.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Étape 2.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.7.3.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 2.7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Étape 2.7.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$ est l’inverse de $f (x) = 2^{3 x - 1}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1}$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{\ln (2^{3 x - 1})}{3 \ln (2)}$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Développez $\ln (2^{3 x - 1})$ en déplaçant $3 x - 1$ hors du logarithme.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{(3 x - 1) \ln (2)}{3 \ln (2)}$

Étape 4.2.3.2

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{(3 x - 1) \ln (2)}{3 \ln (2)}$

Étape 4.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{3 x - 1}{3}$

Étape 4.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1 + 3 x - 1}{3}$

Étape 4.2.4.2

Associez les termes opposés dans $1 + 3 x - 1$ .

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Étape 4.2.4.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{3 x + 0}{3}$

Étape 4.2.4.2.2

Additionnez $3 x$ et $0$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{3 x}{3}$

Étape 4.2.4.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{3 x}{3}$

Étape 4.2.4.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) - 1}$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1.1

Simplifiez $3 \ln (2)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{\ln (2^{3})}) - 1}$

Étape 4.3.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

Étape 4.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3}) + 3 (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

Étape 4.3.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3}) + 3 (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

Étape 4.3.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{1 + 3 (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

Étape 4.3.3.4

Multipliez $3 \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$ .

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Étape 4.3.3.4.1

Associez $3$ et $\frac{\ln (x)}{\ln (8)}$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{1 + \frac{3 \ln (x)}{\ln (8)} - 1}$

Étape 4.3.3.4.2

Simplifiez $3 \ln (x)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{1 + \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)} - 1}$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $1 + \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{0 + \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}}$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $0$ et $\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}}$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$ est l’inverse de $f (x) = 2^{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$