Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + 8 x + 15}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 16}{2 x + 6}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} + 8 x + 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $15$ et dont la somme est $8$ .

$3, 5$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 3) (x + 5)}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 16}{2 x + 6}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 5)}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 4^{2}}{2 x + 6}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{(x + 3) (x + 5)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x + 6}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 6$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{(x + 3) (x + 5)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 (x) + 6}$

Étape 3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{(x + 3) (x + 5)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot 3$ .

$\frac{(x + 3) (x + 5)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 (x + 3)}$

Étape 3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $x + 3$ à partir de $2 (x + 3)$ .

$\frac{(x + 3) (x + 5)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{(x + 3) \cdot 2}$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 3) (x + 5)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{(x + 3) \cdot 2}$

Étape 3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 5}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{2}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $x - 4$ à partir de $(x + 4) (x - 4)$ .

$\frac{x + 5}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x + 4)}{2}$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 5}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x + 4)}{2}$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$(x + 5) \cdot \frac{x + 4}{2}$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \frac{x + 4}{2} + 5 \frac{x + 4}{2}$

Étape 3.2.4

Associez $x$ et $\frac{x + 4}{2}$ .

$\frac{x (x + 4)}{2} + 5 \frac{x + 4}{2}$

Étape 3.2.5

Associez $5$ et $\frac{x + 4}{2}$ .

$\frac{x (x + 4)}{2} + \frac{5 (x + 4)}{2}$

Étape 3.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x + 4) + 5 (x + 4)}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 + 5 (x + 4)}{2}$

Étape 3.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 4 + 5 (x + 4)}{2}$

Étape 3.3.3

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 \cdot x + 5 (x + 4)}{2}$

Étape 3.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 4 x + 5 x + 5 \cdot 4}{2}$

Étape 3.3.5

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 5 x + 20}{2}$

Étape 3.4

Additionnez $4 x$ et $5 x$ .

$\frac{x^{2} + 9 x + 20}{2}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} + 9 x + 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $20$ et dont la somme est $9$ .

$4, 5$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 4) (x + 5)}{2}$