Algèbre Exemples

$2 \log_{9} (x) = \log_{9} (8) + \log_{9} (x - 2)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez $2 \log_{9} (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{9} (x^{2}) = \log_{9} (8) + \log_{9} (x - 2)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Simplifiez $\log_{9} (8) + \log_{9} (x - 2)$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{9} (x^{2}) = \log_{9} (8 (x - 2))$

Étape 2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{9} (x^{2}) = \log_{9} (8 x + 8 \cdot - 2)$

Étape 2.1.3

Multipliez $8$ par $- 2$ .

$\log_{9} (x^{2}) = \log_{9} (8 x - 16)$

Étape 3

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x^{2} = 8 x - 16$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $8 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 8 x = - 16$

Étape 4.2

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 8 x + 16 = 0$

Étape 4.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.3.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x^{2} - 8 x + 4^{2} = 0$

Étape 4.3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Étape 4.3.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2} = 0$

Étape 4.3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 4$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 4.4

Définissez le $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 4.5

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$